Sujet du bac 2013 de mathématiques (série ES) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (ES)

A. P . M. E. P . /decofourBaccalauréat ES Nouvelle-Calédonie /decofive 18 novembre 2013 Corrigé EXERCICE 1 3 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie sur [1 ; 10] par f (x) = x2 − 14x + 15 + 20 ln x. 1. Pour tout nombre réel x de [1 ; 10] : f ′ (x) = 2x − 14 + 20 x = 2x2 − 14x + 20 x 2. Sur l’intervalle [1 ; 10], x > 0 donc f ′ (x) est du signe de 2 x2 − 14x + 20. On cherche le signe de 2 x2 − 14x + 20 : ∆ = 142 − 4 × 2 × 20 = 36 = 62 ; les racines du polynôme sont −b − /radicallow ∆ 2a = 14 − 6 4 = 2 et −b + /radicallow ∆ 2a = 14 + 6 4 = 5 2x2 − 14x + 20 est du signe de a = 2 (donc positif ) à l’extérieur des racines, du signe contraire à l’intérieur. De plus f (1) = 2 ; f (2) = 20 ln 2− 1 ≈ 4,86 ; f (5) = 20 ln 5− 30 ≈ 2,19 ; f (10) = 20 ln 10− 25 ≈ 21,05 D’où le tableau de variation de la fonction f : x 1 2 5 10 f ′ (x) +++ 0 −−− 0 +++ 4,86 21,05 f (x) 2 2,19 3. On complète le tableau de variation de f : x 1 2 5 10 4,86 21,05 f (x) 2 2,19 3 3 3 D’après le tableau de variation de f , on peut dire que l’équation f (x) = 3 admet trois solutions dans l’intervalle [1 ; 10] ; une dans [1; 2], une dans [2 ; 5] et une dans [5 ; 10]. EXERCICE 2 3 points Commun à tous les candidats 1. La fonction …