Sujet du bac 2012 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2012 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ par f (x) = 5 ln(x + 3) − x. 1. a. On appelle f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur [0 ; +∞[. Calculer f ′(x) et étudier son signe sur [0 ; +∞[. b. Donner, dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. c. Montrer que, pour tout x strictement positif on a f (x) = x ( 5 ln x x − 1 ) + 5 ln ( 1 + 3 x ) . d. En déduire la limite de f en +∞. e. Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. 2. a. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0 ;+∞[. On notera α cette solution. b. Après avoir vérifié que α appartient à l’intervalle [14 ; 15], donner une valeur ap- prochée de α à 10−2 près. c. En déduire le signe de f sur l’intervalle [0 ; +∞[. Partie B Soit (un) la suite définie par { u0 = 4 un+1 = 5 ln(un + 3) pour tout entier naturel ng e q sl ant 0 On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (x) = 5 ln(x + 3). En annexe 1 on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C , courbe représentative de la fonction g . 1. a. Construire sur l’axe des abscisses de l’annexe 1 les termes u0, u1, u2 de la suite (un) en utilisant la droite et la courbe données et en laissant app arents les traits de construction. b. Formuler une conjecture sur le sens de variations de la …