Sujet du bac 2012 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

/decofourBaccalauréat S Métropole 13 septembre 2012 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Soit f une fonction dérivable sur R dont le tableau de variations est donné ci-dessous où a et b désignent deux réels. x −∞ a +∞ −∞ f (x) b −∞ 1. Déterminer le signe de f ′(x) selon les valeurs de x. 2. Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O, − →ı , − → ) , on a tracé deux courbes C1 et C2. Elles coupent l’axe des ordonnées aux points A et B d’ordonné es −2 et 1 2 respective- ment. L ’une de ces courbes est la courbe représentative de la fonct ion dérivée f ′ de f et l’autre la courbe représentative d’une primitive F de la fonction f sur R. A B O C2 C1 − →ı − → a. Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représen tative de la fonction f ′. Justifier la réponse. b. À l’aide des courbes C1 et C2, prouver que 1 < a < 2 et b > 0. 3. Dans cette question, on admet que la fonction f est telle que, pour tout réel x, f (x) − 2 f ′(x) = x. a. Déterminer une fonction affine g telle que pour tout réel x, g (x) − 2g ′(x) = x. Baccalauréat S A. P. M. E. P. b. Démontrer que la fonction f − g est une solution de l’équation différentielle y ′ = 1 2 y. c. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’existence d’un réel k tel que pour tout réel x, f (x) = ke 1 2 x + x + 2. d. En utilisant les coordonnées des points A et B , déterminer les fonctions f et F ainsi que les réels a et b. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Les questions 1 et 2 …