Sujet du bac 2012 de mathématiques (série S) — Liban (S)

/decofourBaccalauréat S Liban mai 2012 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats. Partie A On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g (x) = 2x3 − 1 + 2 lnx 1. Étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g (α) = 0. Donner une valeur approchée de α, arrondie au centième. 3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ]0 ; +∞[. Partie B On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f (x) = 2x − ln x x2 On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère orthogo- nal ( O, − →ı , − → ) . 1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. 2. Démontrer que la courbe C admet pour asymptote oblique la droite ∆ d’équation y = 2x. Étudier la position relative de la courbe C et de la droite ∆. 3. Justifier que f ′(x) a même signe que g (x). 4. En déduire le tableau de variations de la fonction f . 5. Tracer la courbe C dans le repère ( O, − →ı , − → ) . On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe des ordonnées. Partie C Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine D du plan compris entre la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations respectives x = 1 et x = n. 1. Justifier que cette aire, exprimée en cm 2, est donnée par : In = 2 ∫ n 1 ln x x2 dx. 2. a. Calculer l’intégrale ∫ n 1 ln x x2 dx à l’aide d’une intégration par parties. b. En déduire …