Sujet du bac 2012 de mathématiques (série S) — Centres étrangers (S)

/decofourBaccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2012/decofive EXERCICE 1 4 points On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal ( A ; − − →AB ; − − →AD ; − →AE ) . On considère les points I ( 1 ; 1 3 ; 0 ) , J ( 0 ; 2 3 ; 1 ) , K ( 3 4 ; 0 ; 1 ) et L( a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1]. B C DA F G HE Les parties A et B sont indépendantes. Partie A 1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (I J). 2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétr ique    x = 3 4 + t ′ ( a − 3 4 ) y = t ′ z = 1 − t ′ , t ′ ∈ R 3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et se ulement si, a = 1 4 . Partie B Dans la suite de l’exercice, on pose a = 1 4 . Le point L a donc pour coordonnées ( 1 4 ; 1 ; 0 ) . Baccalauréat S A. P. M. E. P. 1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. 2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). B C DA F G HE /Bullet /Bullet /Bullet /Bullet /Bullet /Bullet I K J M N L Le but de cette question est de déterminer les coordonnées de s points M et N. a. Prouver que …