Sujet du bac 2012 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

/decofourBaccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2012 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les parties B et C sont indépendantes. On note R l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur R par f (x) = xex−1 + 1. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, − →ı , − → ) . Partie A : étude de la fonction 1. Déterminer la limite de f en −∞. Que peut-on en déduire pour la courbe C ? 2. Déterminer la limite de f en +∞. 3. On admet que f est dérivable sur R, et on note f ′ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x, f ′(x) = (x + 1)ex−1. 4. Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation sur R. Partie B : recherche d’une tangente particulière Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rec hercher s’il existe une tan- gente à la courbe C au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère. 1. On appelle Ta la tangente à C au point d’abscisse a. Donner une équation de T a . 2. Démontrer qu’une tangente à C en un point d’abscisse a strictement positive passe par l’origine du repère si et seulement si a vérifie l’égalité 1 − a2ea−1 = 0. 3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplè te sera prise en compte dans l’évaluation. Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0 ; +∞[ de l’équation 1 − x2ex−1 = 0. 4. Donner alors une équation de la tangente recherchée. Partie C : calcul d’aire Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe C de la fonction f dans un repère orthonormé ( O, − →ı , − → ) . Baccalauréat S A. P. M. E. P. 1. Construire sur ce graphique …