Sujet du bac 2012 de mathématiques (série S) — Amérique du Sud (session de remplacement) (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Amérique du Sud 13 novembre 2012 /decofive Exercice 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A 1. Restitution organisée de connaissance L ’objet de cette question est de démontrer que limx→+∞ ex x = +∞. On suppose connus les résultats suivants : • La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée • e0 = 1 • Pour tout réel x, on a e x > x • Soit deux fonctions v et w définies sur l’intervalle [A ; +∞[, où A est un réel positif. Si pour tout x de [ A ; +∞[, v(x) ⩽ w (x) et si limx→+∞ v(x) = +∞, alors limx→+∞ w (x) = +∞. a. Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par ϕ(x) = ex − x2 2 . Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, ϕ(x) /greaterorequalslant1. b. En déduire que limx→+∞ ex x = +∞. 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = 1 2 xe− 1 2 x . a. Étudier la limite de la fonction f en +∞. b. Étudier les variations de la fonction f , puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[. Partie B On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1 mg de princi pe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang. On ap pelle g (t ) la quantité de prin- cipe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l’instant t exprimé en heures (t /greaterorequalslant0). On constate expérimentalement que la fonction g est solution de l’équation différentielle (E ) : y ′ + 1 2 y = 1 2 e− 1 2 t . 1. On considère l’équation différentielle ( E ′) : y ′ + 1 2 y = 0 a. Déterminer le …