Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Polynésie (S)

/decofourBaccalauréat S (obligatoire) Polynésie /decofive septembre 2011 EXERCICE 1 5 points Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : • « À quel niveau est votre bureau ? » • « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rend re ? » Voici les réponses : • 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 5 0 vont au 1 er niveau, 75 vont au 2e niveau et 100 vont au 3 e niveau. • Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles -ci, un tiers va au 2 e niveau, les autres vont au 1 er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants : — N1 : « La personne va au premier niveau. » — N2 : « La personne va au deuxième niveau. » — N3 : « La personne va au troisième niveau. » — E : « La personne emprunte l’escalier. » 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré. 2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2 e niveau par l’escalier est égale à 1 12 . b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables. c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escal ier sachant qu’elle va au 2e niveau. 3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs ré- ponses sont indépendantes les unes des autres. On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2 e niveau. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X . b. Déterminer, à 10 −4 près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2 e niveau. c. En moyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2 e niveau ? 4. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge …