Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie /decofive obligatoire mars 2012 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A : On considère le polynôme P défini sur C par P (z) = z3 − ( 2 + i /radicallow 2 ) z2 + 2 ( 1 + i /radicallow 2 ) z − 2i /radicallow 2. 1. Montrer que le nombre complexe z0 = i /radicallow 2 est solution de l’équation P (z) = 0. 2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z) = ( z − i /radicallow 2 ) ( z2 + az + b ) . b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0. Partie B : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O, − →u , − →v ) . On prendra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives : zA = 1 + i, zB = 1 − i, zJ = i /radicallow 2 et zK = e 3iπ 4 . 1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice. 2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à − /radicallow 2. 3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cerc le dont on précisera le centre et le rayon. 4. Soit D le point d’affixe zD = −1 + i. On considère !a rotation r de centre O qui trans- forme J en D. a. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r . b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C. 5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. EXERCICE 2 4 points Commun …