Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (session de remplacement) (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie /decofive 10 novembre 2011 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O, − →u , − →v ) . On prendra 1 cm pour unité graphique. 1. Résoudre dans C l’équation z2 − 2z + 2 = 0. 2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives : zA = 1 + i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3. Construire une figure et la compléter tout au long de l’exerci ce. 3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même c ercle de centre D dont on précisera le rayon. 4. Calculer zC − 3 zA − 3 . En déduire la nature du triangle DAC. 5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incompl ète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation . On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation de centre D et d’angle π 2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image de C′ par r . Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln ( 1 + 1 x ) − x. a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞. b. Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; +∞[. c. Montrer qu’il existe un unique réel α appartenant à ]0 ; +∞[ tel que f (α) = 0. Déterminer une valeur approchée de α à 10−3 près. 2. Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g (x) = ln ( 1 + 1 x ) . …