Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Métropole (session de remplacement) (S)

/decofourBaccalauréat S Métropole–La Réunion /decofive 16 septembre 2011 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Un e étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un mot eur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12. Tous les résultats seront arrondis à 10−3 Partie A Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasi n. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est su ffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indé pendants avec remise. 1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombe nt en panne durant la première année d’utilisation ? 2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ? Partie B On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètreλ où λ est un réel strictement positif. On rappelle que pour tout réel positif t , p(Y ⩽ t ) = ∫ t 0 λe−λx dx. Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10 −3. 1. Exprimer p(Y ⩽ 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ. Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,128 . 2. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ? 3. Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 4 ans sach ant qu’il a duré plus d’un an ? 4. On admet que la durée de vie moyenne dm de ces moteurs est égale à lim t →+∞ F (t ) où F est la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par F (t ) = ∫ t 0 λxe−λx dx. a. Calculer F (t ) en fonction …