Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

/decofourBaccalauréat S Métropole 21 juin 2011 /decofive EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment . Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondis sant à 10−4. Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus . PARTIE A On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les proprié tés suivantes : — La probabilité qu’une personne contaminée ait un test posi tif est de 0, 99 (sensibilité du test). — La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test n égatif est de 0, 97 (spé- cificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans ce tte population. On note V l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T . 1. a. Préciser les valeurs des probabilités P (V ), PV (T ), PV (T ). Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités. b. En déduire la probabilité de l’évènement V ∩ T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0 49 2. 3. a. Justifier par un calcul la phrase : « Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » q ue la personne soit contaminée ». b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas conta minée par le virus sachant que son test est négatif. PARTIE B On choisit successivement 10 personnes de la population au h asard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes conta minées par le virus parmi ces 10 personnes. 1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 2. Calculer la …