Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Centres étrangers (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Centres étrangers 16 juin 2011 /decofive EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On considère une droite D munie d’un repère ( O ; − →ı ) . Soit (An) la suite de points de la droite D ainsi définie : • A0 est le point O ; • A1 est le point d’abscisse 1 ; • pour tout entier naturel n, le point An+2 est le milieu du segment [An An+1]. 1. a. Placer sur un dessin la droite D, les points A0, A1, A2, A3, A4, A5 et A6. On prendra 10 cm comme unité graphique. b. Pour tout entier naturel n, on note an l’abscisse du point An. Calculer a2, a3, a4 a5 et a6. c. Pour tout entier naturel n, justifier l’égalité : an+2 = an + an+1 2 . 2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier n, an+1 = − 1 2 an + 1. 3. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n, par vn = an − 2 3 . Démontrer que (vn) est une suite géométrique de raison − 1 2 . 4. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (an). EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne s era pas prise en compte. Toute justification incomplète sera valorisée. Question 1 On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthono rmal direct ( O, − →ı , − → ) , les points A, B et C d’affixes respectives : a = 1 + i, b = 3i, c = ( /radicallow 3 + 1 2 ) + i ( /radicallow 3 2 + 2 ) . Affirmation Le triangle ABC …