Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (session de remplacement) (S)

/decofourBaccalauréat S Antilles-Guyane /decofive septembre 2011 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats On considère la fonction f définie ]0 ; +∞[ par : f (x) = x ln x − 1. Partie A : Étude d’une fonction 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer la limite de la fonction f en 0. 2. Soit f ′ la fonction dérivée de la fonction f . Calculer f ′(x) pour tout réel x de ]0 ; +∞[. En déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. 3. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans ]0 ; +∞[. On note α cette solution. Déterminer un encadrement de α à la précision 10−2. 4. Déterminer le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +∞[. 5. Montrer que ln α = 1 α . Partie B : Calcul d’une intégrale On donne en annexe la courbe C , représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé. On considère l’intégrale suivante : I = ∫ 4 α f (x) dx. 1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le gra- phique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégra le J = ∫ 4 α x ln x dx. 3. Montrer l’égalité : I = α2 4 + α 2 + 16 ln 2− 8. En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité L ’espace est muni d’un repère orthonormé ( O, − →ı , − → , − →k ) . On considère les trois points A, B et C de coordonnées respect ives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; …