Sujet du bac 2011 de mathématiques (série S) — Antilles-Guyane (S)

Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2011 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O ; − →u , − →v ) . On prendra 2 cm pour unité graphique. On appelle J le point d’affixe i . 1. On considère les points A, B , C , H d’affixes respectives a = −3 − i, b = −2 + 4i, c = 3 − i et h = −2. Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice. 2. Montrer que J est le centre du cercle C circonscrit au triangle ABC . Préciser le rayon du cercle C . 3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe b − c h − a . En déduire que les droites (AH ) et (BC ) sont perpendiculaires. Dans la suite de l’exercice, on admet que H est l’orthocentre du triangle ABC , c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ABC . 4. On note G le centre de gravité du triangle ABC . Déterminer l’affixe g du point G. Placer G sur la figure. 5. Montrer que le centre de gravité G, le centre du cercle circonscrit J et l’orthocentre H du triangle ABC sont alignés. Le vérifier sur la figure. 6. On note A′ le milieu de [BC ] et K celui de [ AH ]. Le point A′ a pour affixe a′ = 1 2 + 3 2 i. a. Déterminer l’affixe du point K . b. Démontrer que le quadrilatère K H A′J est un parallélogramme. EXERCICE 2 6 points Commun à tous les candidats 1. Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f (x) = xex − 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ et étudier le sens de variation de f . b. …