Sujet du bac 2011 de mathématiques (série ES) — Polynésie (ES)

/decofourBaccalauréat ES (spécialité) Polynésie septembre 2011 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O, − →ı , − → ) d’unité graphique 2 cm. On s’intéresse dans cet exercice à la fonction f définie sur l’ensemble des réels R par f (x) = −1 + xex . On note C sa courbe représentative dans le repère ( O, − →ı , − → ) . 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Déterminer la limite de la fonction f en −∞. Interpréter graphiquement cette limite. (On rappelle le résultat : limx→−∞ xex = 0) 2. On admet que la fonction f est dérivable sur R et on note f ′ sa fonction dérivée. a. Montrer que, pour tout nombre réel x on a f ′(x) = (x + 1)ex . Dresser le tableau de variations de la fonction f (la valeur de l’extremum sera arrondie à 10−2). 3. Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 1]. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2. 4. Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est y = x − 1. 5. Dans le repère ( O, − →ı , − → ) tracer la droite T et la courbe C. Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe C par rapport à la droite T ? 6. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Justifier la conjecture émise à la question 5. EXERCICE 2 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans une ville, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d’écologie a donné les résultats suivants : — 70 % des ménages pratiquent le tri sélectif …