Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Pondichéry (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A - Restitution organisée de connaissances : Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b]. On suppose connus les résultats suivants : • ∫ b a [ f (t ) + g (t ) ] dt = ∫ b a f (t ) dt + ∫ b a g (t ) dt . • Si pour tout t ∈ [a ; b], f (t ) /greaterorequalslant0 alors ∫ b a f (t ) dt /greaterorequalslant0. Montrer que : si pour tout t ∈ [a ; b], f (t ) ⩽ g (t ) alors ∫ b a f (t ) dt ⩽ ∫ b a g (t ) dt . Partie B Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction définie sur [0 ; +∞[ par fn(x) = ln ( 1 + xn) et on pose In = ∫ 1 0 ln ( 1 + xn) dx. On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal ( O, − →ı , − → ) . 1. a. Déterminer la limite de f1 en +∞. b. Étudier les variations de f1 sur [0 ; +∞[. c. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I1 et interpréter graphiquement le résultat. (Pour le calcul de I1 on pourra utiliser le résultat suivant : pour tout x ∈ [0 ; 1], x x + 1 = 1 − 1 x + 1 ) 2. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a : 0 ⩽ In ⩽ ln 2. b. Étudier les variations de la suite (In). c. En déduire que la suite (In) est convergente. 3. Soit g la fonction …