Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Polynésie (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Polynésie 10 juin 2010 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, − →u , − →v ) . Partie A - Restitution organisée de connaissances Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombre réels. On note z, le nombre complexe défini par z = a − bi. Questions 1. Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z′, z × z′ = z × z′. 2. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, zn = ( z ) n . Partie B On considère l’équation (E) : z4 = −4 où z est un nombre complexe. 1. Montrer que si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes −z et z sont aussi solutions de l’équation (E). 2. On considère le nombre complexe z0 = 1 + i. a. Écrire le nombre complexe z0 sous forme exponentielle. b. Vérifier que z0 est solution de l’équation (E). 3. Déduire des deux questions précédentes trois autres soluti ons de l’équation (E). Partie C Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives : zA = 1 + i ; zB = −1 + i ; zC = −1 − i et zD = 1 − i. Soit r la rotation du plan de centre C et d’angle de mesure − π 3 . On appelle E l’image du point B par r et F celle du point D par r . 1. Déterminer l’écriture complexe de la rotation r . 2. a. Démontrer que l’affixe du point E, notée zE, est égale à −1 + /radicallow 3. b. Déterminer l’affixe zF du point F . c. Démontrer que le quotient zA …