Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Nouvelle-Calédonie (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Nouvelle-Calédonie /decofive mars 2011 EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Partie A : Restitution organisée de connaissances On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y ′ = a y où a ∈ R sont les fonctions g définies sur R par g (x) = K eax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’éq uation différentielle (E) y ′ = a y + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. 1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = − b a est une solution de (E). 2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l’équivalence suivante : f est solution de (E) ⇐ ⇒ f − u est solution de l’équation différentielle y ′ = a y. 3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentiel le (E). Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et tr ès longue. On note v(t ) sa vitesse à l’instant t , où t est exprimé en secondes et v(t ) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[. Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l’équation diffé- rentielle : 10v ′(t ) + v(t ) = 30. Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste s’élance, sa vites se initiale est nulle, c’est-à-dire que v(0) = 0. 1. Démontrer que v(t ) = 30 ( 1 − e− t 10 ) . 2. a. Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l’intervalle [0 ; +∞[. b. Déterminer la limite de la fonction v en +∞. 3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v ′(t …