Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Métropole 22 juin 2010 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A On considère l’équation différentielle (E) : y ′ + y = e−x. 1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u(x) = xe−x est une solution de l’équation différentielle (E). 2. On considère l’équation différentielle (E′) : y ′+y = 0. Résoudre l’équation différentielle (E′). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solu- tion de l’équation différentielle (E) si et seulement si la f onction v − u est solution de l’équation différentielle (E′). 4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentiel le (E). 5. Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que g (0) = 2. Partie B On considère la fonction fk définie sur l’ensemble R des nombres réels par fk (x) = (x + k)e−x où k est un nombre réel donné. On note Ck la courbe représentative de la fonction fk dans un repère orthogonal. 1. Montrer que la fonction fk admet un maximum en x = 1 − k. 2. On note Mk le point de la courbe Ck d’abscisse 1 − k. Montrer que le point Mk appar- tient à la courbe Γ d’équation y = e−x . 3. Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonné es ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : • la courbe Γ d’équation y = e−x ; • la courbe Ck d’équation y = (x + k)e−x pour un certain nombre réel k donné. a. Identifier les courbes et les nommer sur l’annexe 1 …