Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Métropole (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Métropole 16 septembre 2010 /decofive EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x(1 − ln x). La courbe représentative C de la fonction f est donnée en annexe 1 (à rendre avec la copie). Partie 1 : Étude de la fonction f 1. Étudier le signe de f (x) suivant les valeurs du nombre réel x. 2. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition. 3. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[ et dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[. 4. Soit a un nombre réel strictement positif. On considère la tangent e (Ta) au point A de la courbe C d’abscisse a. a. Déterminer, en fonction du nombre réel a, les coordonnées du point A ′, point d’intersection de la droite (Ta) et de l’axe des ordonnées. b. Expliciter une démarche simple pour la construction de la tangente (Ta). Sur l’an- nexe 1 (à rendre avec la copie) construire la tangente (Ta) au point A placé sur la figure. Partie II : Un calcul d’aire Soit a un nombre réel strictement positif. On note A (a) la mesure, en unité d’aire, de l’aire de la région du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = e. 1. Justifier que A (a) = ∫ e a f (x) dx, en distinguant le cas a < e et le cas a > e. 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer A (a) en fonction de a. EXERCICE 2 5 points Commun à tous les candidats Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et pour tout nombre entier naturel n, …