Sujet du bac 2010 de mathématiques (série S) — Liban (S)

A. P. M. E. P. Durée : 4 heures /decofourBaccalauréat S Liban 3 juin 2010 /decofive EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Partie A Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : • e0 = 1. • Pour tous réels x et y, ex × ey = ex+y . 1. Démontrer que pour tout réel x, e −x = 1 ex . 2. Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, (ex)n = enx . Partie B On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = ∫ 1 0 e−nx 1 + e−x dx. 1. a. Montrer que u0 + u1 = 1. b. Calculer u1. En déduire u0. 2. Montrer que pour tout entier naturel n, un /greaterorequalslant0. 3. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, un+1 + un = 1 − e−n n . b. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un ⩽ 1 − e−n n . 4. Déterminer la limite de la suite (un). EXERCICE 2 4 points Commun à tous les candidats L ’espace est muni d’un repère orthonormal ( O, − →ı , − → , − →k ) . On note (D) la droite passant par les points A(1 ; −2 ; −1) et B(3 ; −5 ; −2). 1. Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite (D) est :    x = 1 + 2t y = − 2 − 3t z = − 1 − t avec t ∈ R. Baccalauréat S A. P. M. E. P. 2. On note (D′) la droite ayant pour représentation paramétrique :    x = 2 − k y = 1 + 2k z = k avec k ∈ R. Montrer que les droites (D) et (D ′) ne sont pas coplanaires. 3. On considère le plan (P) …