Sujet du bac 2010 de mathématiques (série ES) — Antilles-Guyane (ES)

/decofourTES Antilles–Guyane 18 juin 2010 /decofive L ’usage d’une calculatrice est autorisé 3 heures Deux annexes sont à rendre avec la copie EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats La courbe C f donnée en annexe 1 est la représentation graphique dans un re père orthogonal d’une fonction f définie, dérivable et strictement décroissante sur l’inter valle [1 ; +∞ [. La courbe C f passe par le point de coordonnées (3 ; 0) ; on sait de plus que la droite d’équation y = − 2 est asymptote à la courbe C f . 1re partie Étude préliminaire de f Dans cette partie, aucune justification n’est demandée . 1. Donner la limite de f en +∞ . 2. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 0. 3. Préciser le signe de f sur [1 ; +∞ [. 2e partie Étude d’une fonction composée Pour cette partie, des justifications sont attendues. Soit la fonction g définie sur l’intervalle [1 ; +∞ [ par g (x) = exp(f (x)). 1. Déterminer la limite de g lorsque x tend vers +∞ . 2. Résoudre sur l’intervalle [1 ; +∞ [ l’équation g (x) = 1. 3e partie La fonction f est la dérivée d’une fonction F définie sur [1 ; +∞ [. 1. La fonction F est représentée sur l’une des 3 courbes données en annexe 2. P réciser la- quelle, en justifiant votre réponse. 2. Déterminer graphiquement F (2) et F (3) avec la précision permise par le graphique. 3. On s’intéresse au domaine du plan délimité par la courbe C f , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 2 et x = 3. On notera A l’aire de ce domaine, exprimée en unités d’aire. Donner une méthode permettant de déterminer une valeur appr ochée de l’aire du do- maine précédemment défini et en donner une estimation. 4e partie On donne l’expression de la fonction f …