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Fiche de révision : Mouvement dans un champ gravitationnel

Champ de gravitation d’un astre et choix du référentiel ; mouvement circulaire uniforme d’un satellite, vecteurs vitesse et accélération ; période de révolution et troisième loi de Kepler ; satellite géostationnaire ; les trois lois de Kepler sur une orbite elliptique ; données astronomiques et satellitaires testées en Python.

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Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler

Fiche méthode

(Physique-chimie Tle spécialité · Mouvement et interactions · Mouvement dans un champ de gravitation)

La démarche pour étudier un mouvement autour d’un astre

1. Je fixe le cadre : système, référentiel lié au centre de l’astre attracteur (géocentrique, héliocentrique…), supposé galiléen.

2. Je fais le bilan des forces : la seule attraction de l’astre, $F = G \frac{m M}{r^{2}}$ , avec $r = R + h$ en mètres.

3. J’applique la deuxième loi de Newton : $\vec{a} = \vec{G}$ , puis, sur un cercle, Frenet : mouvement uniforme et $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ .

4. J’utilise la troisième loi de Kepler : $\frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}$ (SI) pour une période, un rayon ou une masse ; sur une ellipse, $a$ remplace $r$ .

5. Je contrôle : unités, ordre de grandeur, masse du satellite absente du résultat, orbite circulaire ou elliptique.

Le réflexe — une seule force, centripète :

\vec{a} = \vec{G}

, puis

v = \sqrt{G M / r}

T^{2} / r^{3} = 4 π^{2} / (G M)

Cas 1 · Calculer un champ de gravitation

Réflexe — $G = G \frac{M}{r^{2}}$ avec $r = R + h$ , et $a = G$ .

Exemple. Champ terrestre à 1 000 km d’altitude ?

$r = 7, 38 \times 10^{6}$ m : $G = \frac{3, 98 \times 10^{14}}{(7, 38 \times 10^{6})^{2}} \approx$ 7,31 N·kg⁻¹.

Attention — ajouter le rayon de l’astre à l’altitude, et tout convertir en mètres.

Cas 2 · Calculer la vitesse d’un satellite

Réflexe — Frenet : $\frac{v^{2}}{r} = G \frac{M}{r^{2}}$ , donc $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ .

Exemple. Satellite à 2 000 km d’altitude : vitesse ?

$r = 8, 38 \times 10^{6}$ m : $v = \sqrt{\frac{3, 98 \times 10^{14}}{8, 38 \times 10^{6}}} \approx$ 6,89 km·s⁻¹.

Attention — vitesse de valeur constante, mais accélération centripète non nulle.

Cas 3 · Utiliser la troisième loi de Kepler

Réflexe — $\frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}$ en SI ; $M = \frac{4 π^{2} r^{3}}{G T^{2}}$ .

Exemple. Deimos tourne autour de Mars en 30,3 h, à 23 460 km du centre. Masse de Mars ?

$T = 1, 091 \times 10^{5}$ s : $M = \frac{4 π^{2} \times (2, 346 \times 10^{7})^{3}}{6, 67 \times 10^{- 11} \times (1, 091 \times 10^{5})^{2}} \approx$ 6,42 × 10²³ kg.

Attention — même astre central seulement ; $T$ en secondes.

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Cas 4 · Étudier un satellite géostationnaire

Réflexe — circulaire, équatorial, d’ouest en est, $T = 86 164$ s.

Exemple. Vitesse d’un satellite géostationnaire (r = 42 140 km) ?

$v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \times 4, 214 \times 10^{7}}{86 164} \approx$ 3,07 km·s⁻¹, bien moins qu’en orbite basse.

Attention — jour sidéral (86 164 s), pas 24 h ; jamais au-dessus de la France.

Cas 5 · Exploiter les lois de Kepler sur une ellipse

Réflexe — $a = \frac{r_{p} + r_{a}}{2}$ ; $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ ; $T = a^{3 / 2}$ (ans, ua).

Exemple. Cérès a un demi-grand axe de 2,77 ua. Période ?

$T = 2, 77^{1, 5} \approx$ 4,61 ans.

Attention — Soleil au foyer ; $v = \sqrt{G M / r}$ ne vaut pas sur une ellipse.

Cas 6 · Tester les lois de Kepler en Python

Réflexe — $T^{2}$ en fonction de $a^{3}$ : droite par l’origine ; aire $\frac{1}{2} | x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} |$ .

Exemple. Positions (2,0 ; 0) puis (1,9 ; 0,5), en ua. Aire balayée ?

$A = \frac{1}{2} | 2, 0 \times 0, 5 - 1, 9 \times 0 | =$ 0,50 ua², à comparer aux autres intervalles.

Attention — puissance ** ; a**1.5, pas a**3/2.

Les pièges

Prendre l’altitude $h$ au lieu de la distance au centre $r = R + h$ .
Croire qu’une vitesse de valeur constante signifie qu’aucune force n’agit, ou que l’astronaute flotte parce que la gravitation a disparu.
Utiliser 24 h au lieu du jour sidéral (86 164 s) pour un satellite géostationnaire.
Appliquer $v = \sqrt{G M / r}$ sur une orbite elliptique, ou placer le Soleil au centre de l’ellipse.
Comparer avec la troisième loi deux corps qui ne tournent pas autour du même astre, ou laisser $T$ en jours dans une formule SI.

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À propos de cette page

La fiche méthode tient en deux pages : une démarche en cinq étapes pour étudier un mouvement autour d’un astre, puis un exemple corrigé par cas — champ terrestre en altitude, vitesse d’un satellite en orbite basse, masse de Mars grâce à Deimos, vitesse d’un satellite géostationnaire, période de Cérès, aire balayée entre deux positions — et cinq pièges classiques.

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