Ressources · Terminale · Spécialité Physique-Chimie

Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler

Champ de gravitation d’un astre et choix du référentiel ; mouvement circulaire uniforme d’un satellite, vecteurs vitesse et accélération ; période de révolution et troisième loi de Kepler ; satellite géostationnaire ; les trois lois de Kepler sur une orbite elliptique ; données astronomiques et satellitaires testées en Python.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : la Station spatiale internationale et l’impesanteur, une étoile pesée grâce à son exoplanète, les satellites de Saturne testés en Python, la fenêtre de tir d’une sonde vers Mars, et le trou noir du centre de la Voie lactée pesé grâce à l’étoile S2.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fixe le cadre : système, astre attracteur, référentiel lié à son centre (géocentrique, héliocentrique…), supposé galiléen.
Je convertis : $r = R + h$ , distances en mètres, durées en secondes ; ou bien années et ua pour le système solaire.
Je choisis l’outil : $v = \sqrt{G M / r}$ et $T = 2 π r / v$ sur un cercle ; $\frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}$ pour une période, un rayon ou une masse ; $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ et $r_{p} + r_{a} = 2 a$ sur une ellipse.
Je calcule dans l’ordre des questions, en gardant les valeurs non arrondies pour la suite.
Je contrôle : ordre de grandeur (orbite basse ≈ 1 h 30, géostationnaire 23 h 56 min), masse du satellite absente, même astre central pour comparer deux orbites.

Problème 1 · La Station spatiale internationale★★★Facile

La Station spatiale internationale (ISS), de masse

m \approx 4, 2 \times 10^{5}

kg, décrit une orbite considérée comme circulaire à l’altitude

h = 415

km. Données :

R_{T} = 6 380

km ;

G M_{T} = 3, 98 \times 10^{14}

m³·s⁻² ; 1 jour = 86 400 s ; champ au sol

g = 9, 81

N·kg⁻¹. On étudie l’ISS dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen : son mouvement est circulaire uniforme et sa vitesse vaut

\sqrt{G M_{T} / r}

1. Distance de l’ISS au centre de la Terre : $r =$ km
$r = R_{T} + h = 6 380 + 415 =$ 6 795 km.
2. Vitesse de l’ISS : $v =$ × 10³ m·s⁻¹
$v = \sqrt{\frac{3, 98 \times 10^{14}}{6, 795 \times 10^{6}}} = \sqrt{5, 857 \times 10^{7}} \approx$ 7,65 × 10³ m·s⁻¹. La masse de la station n’intervient pas.
3. soit × 10⁴ km·h⁻¹
$7 653 \times 3, 6 \approx 27 550$ km·h⁻¹, soit 2,76 × 10⁴ km·h⁻¹.
4. Période de révolution : $T =$ min
$T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 6, 795 \times 10^{6}}{7 653} \approx 5 579$ s, soit 93,0 min.
5. Nombre de tours effectués en un jour :
$\frac{86 400}{5 579} \approx$ 15,5 : les astronautes voient une quinzaine de levers de Soleil par jour.
6. Champ de gravitation terrestre à l’altitude de l’ISS : N·kg⁻¹
$G = \frac{3, 98 \times 10^{14}}{(6, 795 \times 10^{6})^{2}} \approx$ 8,62 N·kg⁻¹.
7. Ce champ vaut % du champ au sol
$\frac{8, 62}{9, 81} \approx 0, 88$ , soit 88 % : la gravitation n’a pas disparu. Les astronautes flottent parce qu’ils ont la même accélération que la station, $\vec{a} = \vec{G}$ : ils tombent ensemble autour de la Terre et aucun plancher n’a besoin de les soutenir. C’est l’impesanteur.
8. Freinée par les traces d’atmosphère, l’ISS perd de l’altitude ; on la remonte à 460 km. Nouvelle période : $T' =$ min
$r' = 6 840$ km ; $T' = 2 π \sqrt{\frac{(6, 840 \times 10^{6})^{3}}{3, 98 \times 10^{14}}} \approx 5 634$ s, soit 93,9 min.
9. Nouvelle vitesse : $v' =$ km·s⁻¹
$v' = \sqrt{\frac{3, 98 \times 10^{14}}{6, 840 \times 10^{6}}} \approx$ 7,63 km·s⁻¹ : plus haute, la station va moins vite et met plus longtemps à faire un tour.

Problème 2 · Peser une étoile grâce à son exoplanète★★★Moyen

Une exoplanète géante décrit autour de son étoile une orbite quasi circulaire de rayon

a = 0, 047

ua en

T = 3, 52

jours, période mesurée par la méthode des vitesses radiales. Données : 1 ua

= 1, 496 \times 10^{11}

m ; 1 jour = 86 400 s ;

G = 6, 67 \times 10^{- 11}

SI ; masse du Soleil

M_{S} = 1, 99 \times 10^{30}

kg ; vitesse orbitale de la Terre : 29,8 km·s⁻¹. La planète est au moins mille fois moins massive que son étoile.

1. Rayon de l’orbite en mètres : $a =$ × 10⁹ m
$a = 0, 047 \times 1, 496 \times 10^{11} \approx$ 7,03 × 10⁹ m.
2. Période en secondes : $T =$ × 10⁵ s
$T = 3, 52 \times 86 400 \approx$ 3,04 × 10⁵ s.
3. Masse de l’étoile : $M =$ × 10³⁰ kg
Troisième loi, orbite circulaire : $M = \frac{4 π^{2} a^{3}}{G T^{2}} = \frac{4 π^{2} \times (7, 031 \times 10^{9})^{3}}{6, 67 \times 10^{- 11} \times (3, 041 \times 10^{5})^{2}} \approx$ 2,22 × 10³⁰ kg. On peut l’appliquer car la planète est très peu massive devant l’étoile.
4. soit masses solaires
$\frac{2, 22 \times 10^{30}}{1, 99 \times 10^{30}} \approx$ 1,12 : une étoile un peu plus massive que le Soleil.
5. Vitesse orbitale de l’exoplanète : km·s⁻¹
$v = \frac{2 π a}{T} = \frac{2 π \times 7, 031 \times 10^{9}}{3, 041 \times 10^{5}} \approx 1, 45 \times 10^{5}$ m·s⁻¹, soit 145 km·s⁻¹.
6. soit fois la vitesse orbitale de la Terre
$\frac{145, 3}{29, 8} \approx$ 4,87 : cohérent avec $v = \sqrt{G M / a}$ , puisque la planète est 21 fois plus proche de son étoile que la Terre du Soleil.
7. Une seconde planète du même système tourne sur une orbite circulaire de rayon $a' = 0, 25$ ua. Sa période vaut jours
Même étoile : $T' = T {(\frac{a'}{a})}^{3 / 2} = 3, 52 \times {(\frac{0, 25}{0, 047})}^{1, 5} \approx$ 43,2 jours.
8. Un élève affirme que la première planète, très proche, « doit avoir une période plus longue car elle subit une attraction plus forte ». En réalité, plus une planète est proche de son étoile, plus sa période est
Une attraction plus forte donne une vitesse plus grande, $\sqrt{G M / a}$ , sur un cercle plus petit : les deux effets raccourcissent la période, $T = 2 π \sqrt{a^{3} / (G M)}$ . Plus proche, période plus courte.

Problème 3 · Les satellites de Saturne testés en Python★★★Moyen

Le tableau donne le demi-grand axe et la période de six satellites de Saturne (valeurs moyennes du JPL de la NASA) : Mimas (186 000 km ; 0,942 422 j), Encelade (238 400 km ; 1,370 218 j), Téthys (295 000 km ; 1,887 802 j), Dioné (377 700 km ; 2,736 916 j), Rhéa (527 200 km ; 4,517 503 j), Titan (1 221 900 km ; 15,945 448 j). Leurs orbites sont quasi circulaires. On exécute le programme suivant.

from math import pi
G = 6.67e-11
r = [186000, 238400, 295000,
     377700, 527200, 1221900]   # km
T = [0.942422, 1.370218, 1.887802,
     2.736916, 4.517503, 15.945448]   # jours
for i in range(6):
    k = (T[i]*86400)**2 / (r[i]*1e3)**3
    print(k)

1. Période de Titan en secondes : × 10⁶ s
$15, 945 448 \times 86 400 \approx$ 1,38 × 10⁶ s.
2. Dernière valeur affichée (Titan) : × 10⁻¹⁵ s²·m⁻³
$\frac{(1, 378 \times 10^{6})^{2}}{(1, 2219 \times 10^{9})^{3}} = \frac{1, 898 \times 10^{12}}{1, 824 \times 10^{27}} \approx$ 1,04 × 10⁻¹⁵ s²·m⁻³.
3. Masse de Saturne déduite de Titan : × 10²⁶ kg
$M = \frac{4 π^{2}}{G k} = \frac{39, 48}{6, 67 \times 10^{- 11} \times 1, 040 \times 10^{- 15}} \approx$ 5,69 × 10²⁶ kg, environ 95 fois la masse de la Terre.
4. Première valeur affichée (Mimas) : × 10⁻¹⁵ s²·m⁻³
$\frac{(0, 942 422 \times 86 400)^{2}}{(1, 86 \times 10^{8})^{3}} \approx$ 1,03 × 10⁻¹⁵ s²·m⁻³.
5. Écart relatif entre les valeurs de Mimas et de Titan, arrondi à l’unité : %
$\frac{1, 0404 - 1, 0303}{1, 0404} \approx 0, 01$ , soit 1 % : la troisième loi est vérifiée à 1 % près sur un facteur 6,6 en distance. Cet écart vient surtout de l’arrondi du tableau : le demi-grand axe de Mimas y est donné à 1 000 km près (185 539 km plus précisément), et 0,25 % d’erreur sur $r$ en font 0,75 % sur $r^{3}$ . Le reste tient à l’aplatissement de Saturne, qui attire ses satellites proches un peu plus fort qu’un astre à symétrie sphérique.
6. Japet tourne autour de Saturne à 3 561 700 km. Période prévue par la troisième loi, à partir de Titan : jours
$T = 15, 945 \times {(\frac{3 561 700}{1 221 900})}^{1, 5} \approx$ 79,4 jours ; la valeur mesurée, 79,33 jours, confirme la loi.

Problème 4 · Fenêtre de tir vers Mars★★★Difficile

Une sonde quitte l’orbite terrestre (rayon 1,00 ua) pour rejoindre celle de Mars (rayon 1,52 ua), toutes deux supposées circulaires et dans le même plan. La trajectoire de transfert est une demi-ellipse dont le périhélie est sur l’orbite terrestre et l’aphélie sur l’orbite de Mars. On travaille en années et en ua, où

\frac{T^{2}}{a^{3}} = 1

; 1 an = 365 jours = 12 mois.

1. Demi-grand axe de l’ellipse de transfert : $a =$ ua
Le Soleil est au foyer, les deux sommets du grand axe sont de part et d’autre : $2 a = r_{p} + r_{a} = 1, 00 + 1, 52$ , donc $a =$ 1,26 ua.
2. Période de cette orbite de transfert : an
$T = a^{3 / 2} = 1, 26^{1, 5} \approx$ 1,41 an.
3. Durée du voyage Terre-Mars : jours
La sonde ne parcourt que la moitié de l’ellipse : $\frac{1, 414}{2} \times 365 \approx$ 258 jours, environ 8 mois et demi.
4. Rapport de la vitesse de la sonde au départ à sa vitesse à l’arrivée :
Loi des aires aux deux sommets : $\frac{v_{p}}{v_{a}} = \frac{r_{a}}{r_{p}} =$ 1,52 : la sonde arrive plus lentement qu’elle n’est partie.
5. Période de révolution de Mars : jours
$T_{M} = 1, 52^{1, 5} \approx 1, 874$ an, soit 684 jours.
6. La durée $S$ qui sépare deux alignements Soleil-Terre-Mars identiques vérifie $\frac{1}{S} = \frac{1}{T_{T}} - \frac{1}{T_{M}}$ (la Terre a pris un tour d’avance). $S =$ mois
$\frac{1}{S} = 1 - \frac{1}{1, 874} \approx 0, 466$ an⁻¹, donc $S \approx 2, 14$ ans, soit 25,7 mois : une fenêtre de tir tous les deux ans et deux mois environ.
7. Angle parcouru par Mars sur son orbite pendant le transfert : °
$360 ° \times \frac{258}{684} \approx$ 136° : il faut lancer la sonde quand Mars a encore 136° à parcourir jusqu’au point d’arrivée, et non viser Mars là où elle est au départ.

Problème 5 · Peser le trou noir du centre de la Voie lactée★★★Difficile

L’étoile S2 tourne autour de l’objet compact Sagittarius A*, au centre de notre galaxie, sur une ellipse très allongée : demi-grand axe

a \approx 1 030

ua, période

T = 16, 05

ans, distance au péricentre

r_{p} \approx 120

ua, vitesse au péricentre

v_{p} \approx 7 650

km·s⁻¹. La masse de S2 est négligeable devant celle de l’objet central. Pour le Soleil,

\frac{T^{2}}{a^{3}} = 1

en années et en ua ; comme

\frac{T^{2}}{a^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}

, pour un astre de masse

M

ce rapport vaut

\frac{M_{S}}{M}

dans ces unités.

M_{S} = 1, 99 \times 10^{30}

kg ; vitesse de la lumière :

3, 00 \times 10^{5}

km·s⁻¹.

1. Valeur de $\frac{T^{2}}{a^{3}}$ pour S2 : × 10⁻⁷ an²·ua⁻³
$\frac{16, 05^{2}}{1 030^{3}} = \frac{257, 6}{1, 093 \times 10^{9}} \approx$ 2,36 × 10⁻⁷ an²·ua⁻³, bien loin de 1 : l’astre central n’est pas le Soleil.
2. Masse de l’objet central : × 10⁶ masses solaires
$\frac{M}{M_{S}} = \frac{a^{3}}{T^{2}} = \frac{1 030^{3}}{16, 05^{2}} \approx$ 4,24 × 10⁶ : plus de quatre millions de fois la masse du Soleil, contenus à l’intérieur d’une sphère de 120 ua de rayon, puisque S2 passe à cette distance sans être déviée par autre chose : d’où l’idée d’un trou noir.
3. soit × 10³⁶ kg
$4, 242 \times 10^{6} \times 1, 99 \times 10^{30} \approx$ 8,44 × 10³⁶ kg.
4. Distance à l’apocentre : $r_{a} =$ ua
$r_{a} = 2 a - r_{p} = 2 060 - 120 =$ 1 940 ua.
5. Vitesse de S2 à l’apocentre : km·s⁻¹
Loi des aires aux deux sommets : $v_{a} = v_{p} \frac{r_{p}}{r_{a}} = 7 650 \times \frac{120}{1 940} \approx$ 473 km·s⁻¹, seize fois moins qu’au péricentre.
6. La vitesse au péricentre vaut % de la vitesse de la lumière
$\frac{7 650}{3, 00 \times 10^{5}} \approx 0, 0255$ , soit 2,55 % : près de 3 % de la vitesse de la lumière.

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