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Spécialité Physique-Chimie Terminale

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Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler

Champ de gravitation d’un astre et choix du référentiel ; mouvement circulaire uniforme d’un satellite, vecteurs vitesse et accélération ; période de révolution et troisième loi de Kepler ; satellite géostationnaire ; les trois lois de Kepler sur une orbite elliptique ; données astronomiques et satellitaires testées en Python.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures noté sur 20, en cinq exercices de 4 points : un satellite d’observation, Uranus et ses satellites Titania et Obéron, Phobos et l’orbite aréostationnaire de Mars, une orbite elliptique autour de la Terre, quatre affirmations à examiner. Calculatrice autorisée ; sujet et corrigé détaillé avec barème.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

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Devoir surveillé – Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Physique-Chimie Terminale

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Un satellite d’observation ★★

(4 pts)

Un satellite d’observation décrit une orbite circulaire à l’altitude $h = 1 340$ km. On l’étudie dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen ; il n’est soumis qu’à l’attraction de la Terre. Données : $R_{T} = 6 380$ km ; $G M_{T} = 3, 98 \times 10^{14}$ m³·s⁻² ; 1 jour = 86 400 s.

a)Calculer la valeur du champ de gravitation terrestre à l’altitude du satellite, puis en déduire, en justifiant, la valeur et le sens de son accélération.
b)À l’aide du repère de Frenet, montrer que le mouvement du satellite est uniforme et que la valeur de sa vitesse s’écrit $v = \sqrt{\frac{G M_{T}}{r}}$ .
c)Calculer la valeur de cette vitesse.
d)Calculer la période de révolution du satellite, en heures et minutes. À quelle altitude faudrait-il le placer pour que sa période vaille 2 h 30 min ?

Exercice 2 – Uranus et ses satellites Titania et Obéron ★★

(4 pts)

Uranus décrit autour du Soleil une orbite de demi-grand axe 19,2 ua. Ses satellites Titania et Obéron décrivent des orbites quasi circulaires : Titania de rayon $4, 36 \times 10^{8}$ m en 8,71 jours, Obéron de rayon $5, 84 \times 10^{8}$ m. Données : pour le système solaire, $\frac{T^{2}}{a^{3}} = 1$ en années et en ua ; $G = 6, 67 \times 10^{- 11}$ m³·kg⁻¹·s⁻² ; $M_{T} = 5, 97 \times 10^{24}$ kg ; 1 jour = 86 400 s.

a)Calculer la période de révolution d’Uranus autour du Soleil, en années.
b)Sans utiliser la masse d’Uranus, calculer la période de révolution d’Obéron, en jours. Justifier la méthode.
c)Établir l’expression de la masse d’Uranus en fonction du rayon $r$ et de la période $T$ de l’orbite de Titania, puis la calculer.
d)Combien de fois Uranus est-elle plus massive que la Terre ? Calculer la vitesse orbitale de Titania.

Exercice 3 – Phobos et l’orbite aréostationnaire ★★★

(4 pts)

Mars a pour masse $M = 6, 42 \times 10^{23}$ kg et pour rayon $R = 3 390$ km ; elle fait un tour sur elle-même, par rapport aux étoiles lointaines, en 88 642 s (24 h 37 min 22 s). Son satellite Phobos décrit, dans le plan de l’équateur martien et dans le sens de rotation de Mars, une orbite quasi circulaire de rayon $r = 9 380$ km. On travaille dans le référentiel « marsocentrique », supposé galiléen ; $G = 6, 67 \times 10^{- 11}$ m³·kg⁻¹·s⁻².

a)Montrer que la valeur de la vitesse de Phobos ne dépend pas de sa masse, puis la calculer.
b)Calculer la période de révolution de Phobos, en heures et minutes.
c)Comparer cette période à la durée de rotation de Mars. Un observateur posé sur l’équateur martien voit-il Phobos se lever à l’est ou à l’ouest ? Justifier.
d)Un satellite « aréostationnaire » resterait à la verticale d’un même point de Mars. Préciser les conditions que doit vérifier son orbite, puis calculer son rayon et son altitude.

Exercice 4 – Une orbite elliptique ★★★

(4 pts)

Un satellite décrit autour de la Terre une orbite elliptique dont le périgée est à 6 700 km et l’apogée à 26 800 km du centre de la Terre. Donnée : $G M_{T} = 3, 98 \times 10^{14}$ m³·s⁻².

a)Calculer le demi-grand axe de cette orbite.
b)Calculer la période de révolution du satellite et l’exprimer en heures.
c)Déterminer le rapport des valeurs de la vitesse au périgée et à l’apogée, en précisant la loi utilisée.
d)Un élève écrit : « la vitesse du satellite vaut $\sqrt{G M_{T} / r}$ en tout point de l’ellipse, et le mouvement est uniforme ». Expliquer l’erreur, puis dire si la deuxième loi de Newton reste applicable.

Exercice 5 – Quatre affirmations à examiner ★★★

(4 pts)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant par un calcul ou un raisonnement. Données : $G M_{T} = 3, 98 \times 10^{14}$ m³·s⁻² ; $R_{T} = 6 380$ km.

a)« Entre le sol et l’altitude de 20 000 km, le champ de gravitation terrestre peut être considéré comme uniforme. »
b)« Un programme Python affiche une valeur de T**2 / a**3 proche de 1 pour chaque planète du système solaire, avec T en années et a en ua : cela prouve que leurs orbites sont des cercles. »
c)« Deux satellites de Jupiter ont des périodes de révolution dans le rapport 27 : leurs rayons d’orbite sont donc dans le rapport 27. »
d)« Un satellite en orbite circulaire à 300 km d’altitude a une vitesse inférieure à 8 km·s⁻¹. »

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Corrigé et barème – Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler

Durée : 120 min – Calculatrice autorisée – Sur 20 points · Spécialité Physique-Chimie Terminale

Exercice 1 – Un satellite d’observation ★★

(4 pts)

a) $r = R_{T} + h = 7 720$ km $= 7, 72 \times 10^{6}$ m, d’où $G = \frac{3, 98 \times 10^{14}}{(7, 72 \times 10^{6})^{2}} \approx$ 6,68 N·kg⁻¹ (0,5 pt). Seule force : $m \vec{G}$ ; deuxième loi de Newton, $m \vec{a} = m \vec{G}$ , donc $\vec{a} = \vec{G}$ : 6,68 m·s⁻², dirigée vers le centre de la Terre (0,5 pt). (1)
b)Dans le repère de Frenet, $\vec{a} = \frac{d v}{d t} {\vec{u}}_{t} + \frac{v^{2}}{r} {\vec{u}}_{n}$ et $\vec{a} = \frac{G M_{T}}{r^{2}} {\vec{u}}_{n}$ (0,5 pt). Par identification, $\frac{d v}{d t} = 0$ : la valeur de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme (0,5 pt). Et $\frac{v^{2}}{r} = \frac{G M_{T}}{r^{2}}$ donne $v = \sqrt{\frac{G M_{T}}{r}}$ (0,5 pt). (1)
c) $v = \sqrt{\frac{3, 98 \times 10^{14}}{7, 72 \times 10^{6}}} \approx$ 7,18 × 10³ m·s⁻¹ (0,5 pt). (1)
d) $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 7, 72 \times 10^{6}}{7 180} \approx 6 756$ s $\approx 112, 6$ min, soit 1 h 53 min (0,5 pt). Avec $T = 9 000$ s : $r = {(\frac{G M_{T} T^{2}}{4 π^{2}})}^{1 / 3} \approx 9, 35 \times 10^{6}$ m, d’où $h \approx$ 2 970 km : une période plus longue impose une orbite plus haute (0,5 pt). (1)

Le point clé — L’altitude se convertit d’abord en rayon d’orbite ; ensuite la deuxième loi de Newton et le repère de Frenet donnent tout, sans la masse du satellite.

Exercice 2 – Uranus et ses satellites Titania et Obéron ★★

(4 pts)

a) $T = a^{3 / 2} = 19, 2 \times \sqrt{19, 2} \approx$ 84,1 ans (0,5 pt). (1)
b)Titania et Obéron tournent autour du même astre : $\frac{T_{O}^{2}}{r_{O}^{3}} = \frac{T_{T}^{2}}{r_{T}^{3}}$ (0,5 pt), d’où $T_{O} = 8, 71 \times {(\frac{5, 84}{4, 36})}^{1, 5} \approx$ 13,5 jours (0,5 pt). (1)
c)Orbite circulaire : $T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}$ , donc $M = \frac{4 π^{2} r^{3}}{G T^{2}}$ (0,5 pt). $T = 8, 71 \times 86 400 \approx 7, 53 \times 10^{5}$ s (0,5 pt). $M = \frac{4 π^{2} \times (4, 36 \times 10^{8})^{3}}{6, 67 \times 10^{- 11} \times (7, 53 \times 10^{5})^{2}} \approx$ 8,66 × 10²⁵ kg (0,5 pt). (1)
d) $\frac{8, 66 \times 10^{25}}{5, 97 \times 10^{24}} \approx$ 14,5 fois (0,5 pt). $v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \times 4, 36 \times 10^{8}}{7, 525 \times 10^{5}} \approx$ 3,64 km·s⁻¹ (0,5 pt). (1)

Le point clé — Pour deux corps du même astre, le rapport des périodes se calcule sans $G$ ni $M$ ; pour peser l’astre, il faut au contraire les unités SI.

Exercice 3 – Phobos et l’orbite aréostationnaire ★★★

(4 pts)

a)Seule force : l’attraction de Mars ; $m \vec{a} = G \frac{m M}{r^{2}} {\vec{u}}_{n}$ et, dans le repère de Frenet, $\frac{v^{2}}{r} = G \frac{M}{r^{2}}$ : la masse $m$ de Phobos se simplifie, $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ (0,5 pt). $G M \approx 4, 28 \times 10^{13}$ m³·s⁻², donc $v = \sqrt{\frac{4, 28 \times 10^{13}}{9, 38 \times 10^{6}}} \approx$ 2,14 × 10³ m·s⁻¹ (0,5 pt). (1)
b) $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 9, 38 \times 10^{6}}{2 137} \approx 2, 76 \times 10^{4}$ s, soit 7 h 40 min (0,5 pt). (1)
c)Phobos fait le tour en 7 h 40 min, Mars en 24 h 37 min : Phobos tourne plus vite que la planète (0,5 pt). Il dépasse le sol : on le voit se lever à l’ouest, contrairement au Soleil (0,5 pt). (1)
d)Orbite circulaire, dans le plan de l’équateur martien, parcourue dans le sens de rotation de Mars avec une période de 88 642 s (0,5 pt). $r = {(\frac{G M T^{2}}{4 π^{2}})}^{1 / 3} = {(\frac{4, 28 \times 10^{13} \times 88 642^{2}}{4 π^{2}})}^{1 / 3} \approx$ 2,04 × 10⁷ m, soit 20 430 km (0,5 pt). Altitude : $h = 20 430 - 3 390 \approx$ 17 040 km (0,5 pt). (1)

Le point clé — Un satellite plus bas que l’orbite « stationnaire » tourne plus vite que la planète : vu du sol, il avance d’ouest en est plus vite que le paysage.

Exercice 4 – Une orbite elliptique ★★★

(4 pts)

a) $a = \frac{r_{p} + r_{a}}{2} = \frac{6 700 + 26 800}{2} =$ 16 750 km $= 1, 675 \times 10^{7}$ m (0,5 pt). (1)
b)Troisième loi de Kepler avec le demi-grand axe (0,5 pt) : $T = 2 π \sqrt{\frac{a^{3}}{G M_{T}}} = 2 π \sqrt{\frac{(1, 675 \times 10^{7})^{3}}{3, 98 \times 10^{14}}} \approx 2, 16 \times 10^{4}$ s, soit 6,00 h (0,5 pt). (1)
c)Deuxième loi de Kepler, loi des aires (0,5 pt) : aux deux sommets du grand axe, $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ , donc $\frac{v_{p}}{v_{a}} = \frac{26 800}{6 700} =$ 4,00 (0,5 pt). (1)
d)La relation $v = \sqrt{G M_{T} / r}$ suppose une orbite circulaire : $r$ constant, accélération purement centripète (0,5 pt). Sur l’ellipse, $r$ varie, l’accélération a une coordonnée tangentielle et $v$ change, 4 fois plus grande au périgée (0,5 pt). La deuxième loi de Newton reste valable partout : c’est elle qui conduit aux lois de Kepler (0,5 pt). (1)

Le point clé — Sur une ellipse, on garde la deuxième loi de Newton et les trois lois de Kepler ; on abandonne les formules du cercle.

Exercice 5 – Quatre affirmations à examiner ★★★

(4 pts)

a)Faux. Au sol, avec ce modèle, $G = \frac{3, 98 \times 10^{14}}{(6, 38 \times 10^{6})^{2}} \approx 9, 78$ N·kg⁻¹ ; à 20 000 km d’altitude, $r = 26 380$ km et $G \approx 0, 572$ N·kg⁻¹, 17 fois moins (0,5 pt). Le champ décroît en $\frac{1}{r^{2}}$ : il n’est uniforme que sur un domaine petit devant le rayon de la Terre (0,5 pt). (1)
b)Faux. La troisième loi de Kepler vaut aussi pour les orbites elliptiques, avec le demi-grand axe $a$ : des rapports égaux à 1 vérifient cette loi (0,5 pt), mais ne disent rien de la forme de l’orbite, que décrit la première loi (0,5 pt). (1)
c)Faux. Même astre central : ${(\frac{r_{2}}{r_{1}})}^{3} = {(\frac{T_{2}}{T_{1}})}^{2} = 27^{2}$ (0,5 pt), donc $\frac{r_{2}}{r_{1}} = 27^{2 / 3} = 9$ (0,5 pt). (1)
d)Vrai. $r = 6 680$ km (0,5 pt) et $v = \sqrt{\frac{3, 98 \times 10^{14}}{6, 68 \times 10^{6}}} \approx 7, 72 \times 10^{3}$ m·s⁻¹, inférieure à 8 km·s⁻¹ (0,5 pt). (1)

Le point clé — Chaque affirmation se tranche par une formule du cours : $r = R + h$ , la loi en $1 / r^{2}$ , l’exposant $2 / 3$ .

Ce contrôle de spécialité physique-chimie Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Un satellite d’observation ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Uranus et ses satellites Titania et Obéron ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Phobos et l’orbite aréostationnaire ★★★/ 4 pts
Exercice 4 — Une orbite elliptique ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Quatre affirmations à examiner ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Gravitation universelle, force F = G·m·M/r², champ de gravitation G·M/r², distance au centre r = R + h, G·M_T = 3,98 × 10¹⁴ m³·s⁻², référentiel géocentrique, référentiel héliocentrique, référentiel galiléen, deuxième loi de Newton, accélération égale au champ, indépendance de la masse, repère de Frenet, accélération centripète v²/r, mouvement circulaire uniforme, vitesse orbitale √(G·M/r), impesanteur, période de révolution, T = 2π√(r³/(G·M)), troisième loi de Kepler T²/r³ = 4π²/(G·M), masse d’un astre, comparaison de deux satellites, satellite géostationnaire, plan de l’équateur, jour sidéral 86 164 s, rayon et altitude de l’orbite géostationnaire, ellipse, foyer, demi-grand axe, périhélie, aphélie, périgée, apogée, loi des orbites, loi des aires, loi des périodes, unité astronomique, r_p·v_p = r_a·v_a, programme Python, T² en fonction de a³, régression linéaire, aire d’un triangle balayé.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
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Ce sujet suit-il le programme de spécialité physique-chimie de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Satellites et planètes : mouvement circulaire et lois de Kepler » du programme officiel de spécialité physique-chimie en terminale, soit : mouvement des satellites et des planètes ; orbite ; champ de gravitation newtonien ; référentiels géocentrique et héliocentrique ; vecteurs vitesse et accélération du centre de masse en mouvement circulaire dans un champ de gravitation ; période de révolution ; troisième loi de Kepler établie et exploitée dans le cas du mouvement circulaire ; satellite géostationnaire ; lois de Kepler ; données astronomiques ou satellitaires exploitées en Python pour tester les deuxième et troisième lois de Kepler.

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