Mouvement dans un champ gravitationnel

Exercice 1 — Gravitation et champ gravitationnel
Corrigé :
1. $F = G\frac{Mm}{r^2}$ avec $G$ en N·m²·kg⁻², $M$ et $m$ en kg, $r$ en m, $F$ en N. Force attractive.
2. $g_{Mars} = G\frac{M_{Mars}}{R_{Mars}^2} = \frac{6{,}674 \times 10^{-11} \times 6{,}42 \times 10^{23}}{(3{,}39 \times 10^6)^2} \approx \frac{4{,}28 \times 10^{13}}{1{,}149 \times 10^{13}} \approx 3{,}73\,\text{m·s}^{-2}$.
3. $P_{Mars} = m \times g_{Mars} = 80 \times 3{,}73 \approx 298\,\text{N}$ (soit environ 30 % du poids terrestre).

Exercice 2 — Lois de Kepler et orbites planétaires
Corrigé :
1. Lois de Kepler :
— 1re loi : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.
— 2e loi : les aires balayées en des durées égales sont égales (la planète est plus rapide au périhélie).
— 3e loi : $T^2/a^3 = \text{cte}$ pour toutes les planètes du même astre.
2. $T_J^2/a_J^3 = T_T^2/a_T^3$ → $T_J^2 = a_J^3 = 5{,}20^3 = 140{,}6$ → $T_J = \sqrt{140{,}6} \approx 11{,}9 \approx 12\,\text{an}$.
3. $T = a^{3/2} = 20^{3/2} = 20\sqrt{20} \approx 89{,}4\,\text{an}$.

Exercice 3 — Satellite en orbite circulaire
Corrigé :
a) $r = R_T + h = 6{,}37 \times 10^6 + 1{,}2 \times 10^6 = 7{,}57 \times 10^6\,\text{m}$.
b) $v = \sqrt{GM_T/r} = \sqrt{3{,}99 \times 10^{14}/7{,}57 \times 10^6} \approx 7{,}26\,\text{km·s}^{-1}$.
c) $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 7{,}57 \times 10^6/7260 \approx 6550\,\text{s} \approx 109\,\text{min}$.
d) La seule force exercée est $\vec{F} = -GMm/r^2\,\hat{r}$ (dirigée vers le centre). D'après $\vec{F} = m\vec{a}$, l'accélération $\vec{a} = -GM/r^2\,\hat{r}$ est bien centripète, dirigée vers le centre de la Terre.

Exercice 4 — Énergie mécanique et vitesse de libération
Corrigé :
1. $E_m = -\frac{GM_T m}{2r} = -\frac{3{,}99 \times 10^{14} \times 2000}{2 \times 8{,}0 \times 10^6} = -\frac{7{,}98 \times 10^{17}}{1{,}6 \times 10^7} \approx -4{,}99 \times 10^{10}\,\text{J} \approx -49\,900\,\text{MJ} \approx -49{,}9\,\text{GJ}$.
2. Pour s'échapper : $E_m = 0$. Il faut apporter $\Delta E = 0 - E_m = +49{,}9\,\text{GJ}$ d'énergie au système. On peut aussi écrire $\Delta E = GMm/(2r)$.

Exercice 5 — Trajectoire parabolique en champ uniforme
Corrigé :
a) $v_{x0} = v_0\cos 45° = 25/\sqrt{2} \approx 17{,}7\,\text{m·s}^{-1}$ ; $v_{y0} = v_0\sin 45° \approx 17{,}7\,\text{m·s}^{-1}$.
$x(t) = 17{,}7\,t$ ; $y(t) = 17{,}7\,t - 5t^2$.
b) Au sol : $y = 0$ → $t(17{,}7 - 5t) = 0$ → $t_{vol} = 17{,}7/5 = 3{,}54\,\text{s}$.
Portée : $x = 17{,}7 \times 3{,}54 \approx 62{,}6\,\text{m}$.
c) $h_{max} = v_{y0}^2/(2g) = (17{,}7)^2/20 \approx 312{,}9/20 \approx 15{,}6\,\text{m}$.