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Système thermodynamique : gaz parfait et premier principe

Système thermodynamique et grandeurs d’état, lien entre échelle microscopique et échelle macroscopique ; modèle du gaz parfait, équation d’état et limites ; énergie interne et capacité thermique d’un système incompressible ; premier principe de la thermodynamique, travail et transfert thermique ; bilans d’énergie : calorimétrie, changements d’état, conversions d’énergie.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés pas à pas : la pression d’un pneu après l’autoroute, la mesure de la capacité thermique d’une huile par effet Joule, les bilans d’une voiture thermique et d’une voiture électrique, la montgolfière et un cycle de moteur tracé dans le diagramme pression-volume.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je définis le système et je note, pour chaque état, les variables d’état connues ; je convertis (Pa, m³, K, kg, J).
Je décris chaque transformation : isochore ( $W = 0$ ), monobare ( $W = - P Δ V$ ), adiabatique ( $Q = 0$ ), isotherme d’un gaz parfait ( $Δ U = 0$ ), cycle ( $Δ U = 0$ ).
J’exprime $Δ U$ de deux façons : par les échanges ( $W + Q$ ) et par la température ( $m c Δ T$ , $m L$ ou la relation fournie pour un gaz).
J’égale les deux expressions pour trouver l’inconnue, puis je fais l’application numérique.
Je contrôle : signe de chaque transfert (reçu ou cédé), unité, valeur plausible ; une température finale reste entre les températures initiales.

Problème 1 · La pression d’un pneu après l’autoroute★★★Facile

Un pneu de voiture a un volume intérieur de 25,0 L, supposé constant. Le matin, à 15 °C, le manomètre de la station-service indique 2,30 bar. Ce manomètre mesure une surpression : l’écart entre la pression de l’air du pneu et la pression atmosphérique, 1,013 bar. Données : 1 bar =

1, 00 \times 10^{5}

Pa ;

R = 8, 314

J·K⁻¹·mol⁻¹ ; l’air est un gaz parfait dont l’énergie interne vaut

U = \frac{5}{2} n R T

1. Pression de l’air du pneu, le matin : P = × 10⁵ Pa
$P = 2, 30 + 1, 013 = 3, 313$ bar, soit 3,31 × 10⁵ Pa. Utiliser 2,30 bar dans l’équation d’état serait faux : c’est un écart de pression, pas la pression du gaz.
2. Quantité de matière d’air dans le pneu : n = mol
$n = \frac{P V}{R T} = \frac{3, 313 \times 10^{5} \times 25, 0 \times 10^{- 3}}{8, 314 \times 288, 15} = \frac{8 283}{2 396}$ , soit 3,46 mol.
3. Après une heure d’autoroute, l’air du pneu est à 50 °C. Le manomètre indique alors bar
Volume et quantité de matière constants : $P_{2} = 3, 313 \times \frac{323, 15}{288, 15} = 3, 715$ bar ; le manomètre affiche $3, 715 - 1, 013$ , soit 2,70 bar.
4. Un conducteur applique la proportionnalité à la valeur lue : « 2,30 × 323,15 ÷ 288,15 ». Il prévoit bar
$2, 30 \times \frac{323, 15}{288, 15} \approx$ 2,58 bar au lieu de 2,70 : la relation $\frac{P}{T}$ constante vaut pour la pression du gaz, pas pour une surpression. (Avec des °C, $2, 30 \times \frac{50}{15} \approx 7, 7$ bar serait encore plus faux.)
5. Transfert thermique reçu par l’air du pneu pendant cet échauffement : Q = × 10³ J
Volume constant : $W = 0$ , donc $Q = Δ U = \frac{5}{2} n R Δ T = 2, 5 \times 3, 457 \times 8, 314 \times 35$ , soit 2,5 × 10³ J, reçus du caoutchouc chauffé par ses déformations.
6. Ce conducteur dégonfle le pneu à chaud jusqu’à lire 2,30 bar. Le lendemain matin, à 15 °C, le manomètre indiquera bar
À chaud, $P = 3, 313$ bar à 323,15 K ; à froid, avec la nouvelle quantité d’air : $P = 3, 313 \times \frac{288, 15}{323, 15} = 2, 954$ bar, et le manomètre affiche 1,94 bar : le pneu est sous-gonflé. On règle la pression à froid.

Problème 2 · Mesurer la capacité thermique massique d’une huile★★★Moyen

Un calorimètre contient une résistance chauffante, alimentée sous une tension de 12,0 V et traversée par un courant de 2,50 A pendant 5,00 min. Étape 1 : le calorimètre contient 300 g d’eau (

c_{eau} = 4, 18 \times 10^{3}

J·kg⁻¹·K⁻¹) ; la température passe de 18,2 °C à 24,8 °C. Étape 2 : vidé et revenu à la température ambiante, il contient 300 g d’huile ; le même chauffage élève la température de 13,0 °C. On néglige les échanges avec l’extérieur ; « calorimètre » désigne le récipient, l’agitateur et la résistance.

1. Travail électrique reçu par la résistance à chaque étape : W = × 10³ J
$W = U I Δ t = 12, 0 \times 2, 50 \times 300$ , soit 9,00 × 10³ J.
2. Étape 1 : capacité thermique de l’ensemble {eau + calorimètre} : C = × 10³ J·K⁻¹
Système {eau + calorimètre} : $Q = 0$ , $Δ U = W$ , et $Δ U = C Δ T$ avec $Δ T = 24, 8 - 18, 2 = 6, 6$ K : $C = \frac{9 000}{6, 6} \approx 1 364$ J·K⁻¹, soit 1,36 × 10³ J·K⁻¹.
3. Capacité thermique du calorimètre : $C_{c a l}$ ≈ J·K⁻¹
Les capacités thermiques s’ajoutent : $C_{c a l} = 1 364 - 0, 300 \times 4, 18 \times 10^{3} = 1 364 - 1 254$ , soit environ 110 J·K⁻¹.
4. Capacité thermique massique de l’huile : c = × 10³ J·kg⁻¹·K⁻¹
Étape 2 : $(m c + C_{c a l}) Δ T = W$ , donc $c = \frac{\frac{9 000}{13, 0} - 110}{0, 300} = \frac{692, 3 - 109, 6}{0, 300}$ , soit 1,94 × 10³ J·kg⁻¹·K⁻¹, environ deux fois moins que l’eau : c’est pour cela que l’huile s’échauffe deux fois plus.
5. Valeur obtenue si l’on oubliait le calorimètre : c = × 10³ J·kg⁻¹·K⁻¹
$c = \frac{9 000}{13, 0 \times 0, 300}$ , soit 2,31 × 10³ J·kg⁻¹·K⁻¹, 19 % de trop : l’étape 1, qui sert à mesurer $C_{c a l}$ , est indispensable.

Problème 3 · Deux motorisations, deux bilans d’énergie★★★Moyen

Une voiture à essence consomme 6,2 L d’essence aux 100 km à la vitesse constante de 110 km·h⁻¹ ; la force de traction qui compense les frottements et la résistance de l’air vaut alors 520 N. Une voiture électrique de même gabarit consomme 18,0 kWh aux 100 km, recharge de la batterie comprise, dans les mêmes conditions. Données : masse volumique de l’essence 0,75 kg·L⁻¹ ; énergie libérée par la combustion d’un kilogramme d’essence

4, 4 \times 10^{7}

J ; 1 kWh =

3, 6 \times 10^{6}

1. Énergie libérée par la combustion de l’essence sur 1,00 km : E = × 10⁶ J
Sur 1 km : $6, 2 \times 10^{- 2}$ L, soit $0, 062 \times 0, 75 = 4, 65 \times 10^{- 2}$ kg ; $E = 4, 65 \times 10^{- 2} \times 4, 4 \times 10^{7}$ , soit 2,05 × 10⁶ J.
2. Rendement de la motorisation thermique : η = %
Travail utile sur 1 km : $F d = 520 \times 1 000 = 5, 20 \times 10^{5}$ J. $η = \frac{5, 20 \times 10^{5}}{2, 046 \times 10^{6}} \approx 0, 25$ , soit 25 % (notion vue en première).
3. Énergie cédée par transfert thermique à l’air, aux gaz d’échappement et au liquide de refroidissement, sur 1 km : × 10⁶ J
Le moteur revient au même état de cycle en cycle : $Δ U = 0$ . Ce qui entre (énergie de la combustion) ressort sous forme de travail utile et de transfert thermique : $2, 046 \times 10^{6} - 5, 20 \times 10^{5}$ , soit 1,53 × 10⁶ J. Rien n’est détruit : cette énergie est devenue inutilisable. Avec la convention du receveur, ce transfert cédé s’écrit $Q = - 1, 53 \times 10^{6}$ J.
4. Puissance thermique correspondante à 110 km·h⁻¹ : ≈ kW
1 km à $\frac{110}{3, 6} = 30, 6$ m·s⁻¹ dure 32,7 s : $\frac{1, 526 \times 10^{6}}{32, 7}$ , soit environ 47 kW, l’équivalent de vingt radiateurs : d’où le radiateur et le ventilateur du moteur.
5. Rendement de la chaîne de conversion de la voiture électrique : η = %
Énergie consommée sur 1 km : $0, 180$ kWh $= 6, 48 \times 10^{5}$ J, pour le même travail utile : $η = \frac{5, 20 \times 10^{5}}{6, 48 \times 10^{5}}$ , soit 80 %.
6. L’énergie consommée sur 1 km par la voiture à essence est fois celle de la voiture électrique (au dixième)
$\frac{2, 046 \times 10^{6}}{6, 48 \times 10^{5}} \approx$ 3,2. La comparaison reste partielle : elle ne compte ni la production de l’électricité, ni le raffinage de l’essence.

Problème 4 · Le vol d’une montgolfière★★★Difficile

L’enveloppe d’une montgolfière a un volume de

2, 20 \times 10^{3}

m³. Ouverte vers le bas, elle contient de l’air à la pression atmosphérique,

1, 00 \times 10^{5}

Pa. L’air extérieur est à 288 K ; l’air intérieur est chauffé à 368 K. L’air est un gaz parfait de masse molaire 29,0 g·mol⁻¹ ; sa capacité thermique massique, pour un chauffage à pression constante, vaut

1, 0 \times 10^{3}

J·kg⁻¹·K⁻¹. La nacelle, l’enveloppe et le brûleur ont une masse de 420 kg. La montgolfière peut décoller si la poussée d’Archimède, égale au poids de l’air extérieur déplacé, dépasse son poids total.

R = 8, 314

J·K⁻¹·mol⁻¹.

1. Masse volumique de l’air extérieur : ρ = kg·m⁻³
$ρ = \frac{P M}{R T} = \frac{1, 00 \times 10^{5} \times 29, 0 \times 10^{- 3}}{8, 314 \times 288} = \frac{2 900}{2 394}$ , soit 1,21 kg·m⁻³.
2. Masse volumique de l’air chaud de l’enveloppe : ρ = kg·m⁻³
Même pression, $T = 368$ K : $ρ = \frac{2 900}{8, 314 \times 368} = \frac{2 900}{3 060}$ , soit 0,948 kg·m⁻³, 22 % de moins : à pression fixée, $ρ$ est inversement proportionnelle à $T$ .
3. Masse d’air chaud contenue dans l’enveloppe : m = × 10³ kg
$m = ρ V = 0, 9479 \times 2 200$ , soit 2,09 × 10³ kg : plus de deux tonnes d’air.
4. Masse maximale que la montgolfière peut soulever, en plus de l’air chaud : kg
La poussée équilibre au plus le poids de $ρ_{e} V = 2 665$ kg ; l’air chaud en prend 2 085 kg. Reste $(ρ_{e} - ρ_{i}) V = 0, 2633 \times 2 200$ , soit 579 kg.
5. Nombre maximal de personnes de 75 kg à bord, pilote compris :
Il reste $579 - 420 = 159$ kg pour les personnes à bord ; $\frac{159}{75} \approx 2, 1$ : 2 personnes, le pilote et un passager. Pour une troisième, il faudrait chauffer davantage l’air.
6. Quantité de matière d’air dans l’enveloppe à 368 K : n = × 10⁴ mol
$n = \frac{P V}{R T} = \frac{1, 00 \times 10^{5} \times 2, 20 \times 10^{3}}{8, 314 \times 368}$ , soit 7,19 × 10⁴ mol. Contrôle : $\frac{m}{M} = \frac{2 085}{29, 0 \times 10^{- 3}} = 7, 19 \times 10^{4}$ mol.
7. On estime l’énergie de chauffage en portant de 288 K à 368 K une masse d’air égale à celle de l’air chaud final : Q ≈ × 10⁸ J
$Q = m c Δ T = 2 085 \times 1, 0 \times 10^{3} \times 80$ , soit environ 1,7 × 10⁸ J.
8. Le brûleur a une puissance de 2,5 MW, dont 75 % sont transmis à l’air : durée du chauffage ≈ s
Puissance reçue par l’air : $0, 75 \times 2, 5 \times 10^{6} = 1, 875 \times 10^{6}$ W ; $Δ t = \frac{1, 668 \times 10^{8}}{1, 875 \times 10^{6}}$ , soit environ 89 s. En réalité, l’air chaud s’échappe par l’ouverture et l’enveloppe perd de l’énergie : le pilote rallume régulièrement le brûleur.

Problème 5 · Le cycle d’un moteur dans le diagramme pression-volume★★★Difficile

Un gaz parfait monoatomique (

U = \frac{3}{2} n R T

) décrit le cycle A → B → C → D → A représenté ci-dessous : deux transformations isochores (A → B et C → D) et deux transformations monobares (B → C et D → A), pour lesquelles

W = - P Δ V

. Dans l’état A,

T_{A} = 300

R = 8, 314

J·K⁻¹·mol⁻¹.

1. Quantité de matière de gaz : n = × 10⁻² mol
Dans l’état A : $n = \frac{P_{A} V_{A}}{R T_{A}} = \frac{1, 00 \times 10^{5} \times 2, 0 \times 10^{- 3}}{8, 314 \times 300} = \frac{200}{2 494}$ , soit 8,02 × 10⁻² mol.
2. Température dans l’état C : $T_{C}$ = K
Même quantité de gaz : $T_{C} = T_{A} \frac{P_{C} V_{C}}{P_{A} V_{A}} = 300 \times \frac{2, 00 \times 4, 0}{1, 00 \times 2, 0} =$ 1 200 K. De même $T_{B} = T_{D} = 600$ K.
3. Travail reçu par le gaz de B à C : $W_{B C}$ = J
$W_{B C} = - P_{B} (V_{C} - V_{B}) = - 2, 00 \times 10^{5} \times 2, 0 \times 10^{- 3} =$ −400 J : le gaz se dilate et repousse le piston.
4. Travail total reçu par le gaz sur un cycle : W = J
$W_{A B} = W_{C D} = 0$ (isochores) ; $W_{D A} = - 1, 00 \times 10^{5} \times (- 2, 0 \times 10^{- 3}) = + 200$ J. $W = 0 - 400 + 0 + 200 =$ −200 J : le gaz fournit 200 J par cycle, c’est un moteur. La valeur absolue est l’aire du rectangle.
5. Variation d’énergie interne au cours de l’étape B → C : J
Avec $n R T = P V$ : $U = \frac{3}{2} P V$ , donc $Δ U_{B C} = \frac{3}{2} (P_{C} V_{C} - P_{B} V_{B}) = 1, 5 \times (800 - 400) =$ +600 J.
6. Transfert thermique reçu de B à C : $Q_{B C}$ = J
$Q_{B C} = Δ U_{B C} - W_{B C} = 600 - (- 400) =$ +1 000 J.
7. Transfert thermique total reçu par le gaz sur un cycle : Q = J
Sur un cycle, $Δ U = 0$ , donc $Q = - W =$ +200 J. Détail : $Q_{A B} = Δ U_{A B} = + 300$ J, $Q_{B C} = + 1 000$ J, $Q_{C D} = Δ U_{C D} = - 600$ J, $Q_{D A} = - 300 - 200 = - 500$ J ; la somme vaut bien 200 J.
8. Rendement du moteur, travail fourni divisé par le transfert thermique reçu pendant les étapes où il est positif : η = % (au dixième)
Énergie reçue : $Q_{A B} + Q_{B C} = 1 300$ J ; travail fourni : 200 J. $η = \frac{200}{1 300} \approx$ 15,4 % : l’essentiel du transfert thermique reçu est cédé à nouveau, de C à A.

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