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Formulaire : concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minoration d’un intervalle, inégalité de concentration pour la moyenne d’un échantillon, loi faible des grands nombres et choix d’une taille d’échantillon.

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Concentration et loi des grands nombres

Fiche tableaux : les inégalités à connaître

(Spécialité maths Terminale)

Les deux inégalités

Inégalité	Variable	Majorant de $P (\| \dots - μ \| ⩾ δ)$	Minorant du contraire
Bienaymé-Tchebychev	$X$ , espérance $μ$ , variance $V (X)$	$\frac{V (X)}{δ^{2}}$	$P (μ - δ < X < μ + δ) ⩾ 1 - \frac{V (X)}{δ^{2}}$
Concentration	$M_{n}$ , moyenne d’un échantillon de taille $n$	$\frac{V}{n δ^{2}}$	$P (\| M_{n} - μ \| < δ) ⩾ 1 - \frac{V}{n δ^{2}}$

Exemple : $E (X) = 35$ , $V (X) = 4, 5$ , $δ = 3$ : majorant $\frac{4, 5}{9} = 0, 5$ .

Écarts en nombre d’écarts types

$δ = k σ$ avec $k =$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$10$
Majorant $\frac{1}{k^{2}}$	$1$ (inutile)	$0, 25$	$\frac{1}{9} \approx 0, 111$	$0, 0625$	$0, 04$	$0, 01$
Minorant du contraire	$0$	$0, 75$	$\frac{8}{9} \approx 0, 889$	$0, 9375$	$0, 96$	$0, 99$

Exemple : $X$ reste à moins de $5$ écarts types de son espérance avec une probabilité d’au moins $96 %$ , quelle que soit sa loi.

Moyenne, fréquence et loi des grands nombres

Observation $X_{i}$	$μ$	$V$	$M_{n}$	Quand $n \to + \infty$
Quelconque	$E (X)$	$V (X)$	moyenne, $V (M_{n}) = \frac{V}{n}$	$P (\| M_{n} - μ \| ⩾ δ) \to 0$
Bernoulli de paramètre $p$	$p$	$p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$	fréquence $F_{n}$	$P (\| F_{n} - p \| ⩾ δ) \to 0$

Exemple : une urne contient $7$ boules blanches sur $20$ ; tirées avec remise, la fréquence des blanches se stabilise autour de $0, 35$ .

Trouver une taille, une précision ou un risque

On cherche	On connaît	Formule
la taille $n$	$V$ , $δ$ , $α$	$n ⩾ \frac{V}{α δ^{2}}$ (entier supérieur)
la précision $δ$	$V$ , $n$ , $α$	$δ = \sqrt{\frac{V}{n α}}$
le risque $α$	$V$ , $n$ , $δ$	$α = \frac{V}{n δ^{2}}$
la taille, $p$ inconnu	$δ$ , $α$	$n ⩾ \frac{1}{4 α δ^{2}}$

Exemple : $V = 6$ , $δ = 0, 2$ , $α = 0, 05$ : $n ⩾ \frac{6}{0, 05 \times 0, 04} = 3 000$ .

Lire les événements

Écriture	Signification
$\| X - μ \| ⩾ δ$	$X ⩽ μ - δ$ ou $X ⩾ μ + δ$
$\| X - μ \| < δ$	$μ - δ < X < μ + δ$
$X ⩾ a$ avec $a > μ$	contenu dans $\| X - μ \| ⩾ a - μ$
$X$ entière, $\| X - μ \| < δ$	entiers strictement entre $μ - δ$ et $μ + δ$

Exemple : pour $μ = 75$ , « $X ⩽ 66$ ou $X ⩾ 84$ » est $| X - 75 | ⩾ 9$ .

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À propos de cette page

La fiche de révision de la concentration en tableaux : les deux inégalités côte à côte avec leurs minorants, les majorants en nombre d’écarts types (1/k²), moyenne et fréquence dans la loi des grands nombres, formules pour trouver une taille, une précision ou un risque, et lecture des événements. Elle se télécharge en PDF pour réviser avant un devoir.

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