Combien de temps dure ce contrôle sur « Concentration et loi des grands nombres » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Concentration et loi des grands nombres » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale.

Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration, loi faible des grands nombres et échantillonnage (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ce devoir surveillé sur « Concentration et loi des grands nombres » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : L'essentiel, L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration, La loi faible des grands nombres. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.

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Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Devoir surveillé · Spécialité Mathématiques

Concentration et loi des grands nombres

Classe de Terminale
Durée : 60 min
Barème : / 20 points

Nom : ……………………………………………

Prénom : ……………………………………………

Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Télécharge le sujet en PDF, travaille sur une feuille sans aide, puis vérifie avec le corrigé téléchargeable ci-dessous.

Exercice 1 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

/ 4 pts

Une variable aléatoire $X$ vérifie $E (X) = 45$ et $V (X) = 30$ . Majorer $P (| X - 45 | \geq 12)$ (arrondi au millième).
Écrire l'événement « $| X - 45 | \geq 12$ » à l'aide de conditions sur $X$ .
En déduire une minoration de $P (33 < X < 57)$ .
Déterminer la valeur de $δ$ pour laquelle le majorant $\frac{V (X)}{δ^{2}}$ vaut $0, 12$ (arrondi au dixième).

Exercice 2 — Loi binomiale

/ 4 pts

$Y$ suit la loi $ℬ (160; 0, 15)$ . Calculer $E (Y)$ et $V (Y)$ .
Majorer $P (| Y - 24 | \geq 11)$ (arrondi au millième).
Justifier que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne donne aucune information pour $δ = 4$ .
Déterminer le plus petit entier $δ$ pour lequel le majorant de $P (| Y - 24 | \geq δ)$ est inférieur ou égal à $0, 1$ .

Exercice 3 — Inégalité de concentration

/ 4 pts

Le temps de trajet quotidien (en minutes) d'un salarié est une variable d'espérance $32$ et d'écart-type $7$ . Sur $140$ trajets indépendants, on note $M_{140}$ le temps moyen. Déterminer $E (M_{140})$ et $V (M_{140})$ .
Majorer $P (| M_{140} - 32 | \geq 1, 4)$ (arrondi au millième).
Déterminer le nombre minimal de trajets $n$ garantissant $P (| M_{n} - 32 | \geq 1, 4) \leq 0, 015$ .
Un élève écrit : « $P (| M_{140} - 32 | \geq 1, 4) \leq \frac{49}{1, 96} = 25$ ». Expliquer son erreur.

Exercice 4 — Estimation d'une proportion

/ 4 pts

Une proportion $p = 0, 38$ des clients d'une enseigne se déclarent satisfaits. On interroge $n$ clients de manière indépendante ; $X_{i}$ vaut $1$ si le $i$ -ième client est satisfait, $0$ sinon. Donner la loi de $X_{i}$ , $E (X_{i})$ et $V (X_{i})$ .
Pour $n = 1 200$ , majorer $P (| F_{1200} - 0, 38 | \geq 0, 045)$ , où $F_{n}$ est la fréquence des clients satisfaits (arrondi au millième).
On suppose maintenant $p$ inconnu. Déterminer une taille $n$ garantissant $P (| F_{n} - p | \geq 0, 045) \leq 0, 06$ quelle que soit la valeur de $p$ .
D'après la loi des grands nombres, vers quelle valeur $F_{n}$ se stabilise-t-elle quand $n$ grandit (avec $p = 0, 38$ ) ? Peut-on affirmer que $F_{1200} = 0, 38$ ? Justifier.

Exercice 5 — Majorant et valeur exacte

/ 4 pts

Une variable $Z$ prend les valeurs $2$ , $5$ et $11$ avec les probabilités $0, 5$ ; $0, 3$ ; $0, 2$ . Calculer $E (Z)$ et $V (Z)$ .
Calculer la valeur exacte de $P (| Z - 4, 7 | \geq 3, 7)$ , puis le majorant fourni par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (arrondi au millième).
On effectue $350$ tirages indépendants de $Z$ ; $M_{350}$ est leur moyenne. Majorer $P (| M_{350} - 4, 7 | \geq 0, 55)$ (arrondi au millième).
Un élève conclut de la question b) : « L'événement $| Z - 4, 7 | \geq 3, 7$ a environ $85 %$ de chances de se produire. » Expliquer l'erreur.

Ce contrôle de spécialité mathématiques Terminale en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Concentration et loi des grands nombres » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Inégalité de Bienaymé-Tchebychev/ 4 pts
Exercice 2 — Loi binomiale/ 4 pts
Exercice 3 — Inégalité de concentration/ 4 pts
Exercice 4 — Estimation d'une proportion/ 4 pts
Exercice 5 — Majorant et valeur exacte/ 4 pts

Notions évaluées

L'essentiel, L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration, La loi faible des grands nombres, Taille d'échantillon et simulation, Méthodes.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Concentration et loi des grands nombres » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de terminale ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Concentration et loi des grands nombres » du programme officiel de spécialité mathématiques en terminale, soit L'essentiel, L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration, La loi faible des grands nombres.

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