Concentration et loi des grands nombres

1. a)D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =12$ : $P(|X-45|⩾12)⩽{\displaystyle \frac{30}{144}}={\displaystyle \frac{5}{24}}$. Comme ${\displaystyle \frac{5}{24}}=0,2083\dots$, la probabilité est au plus $0,209$. (1)
2. b)$|X-45|⩾12⟺X-45⩽-12$ ou $X-45⩾12⟺X⩽33$ ou $X⩾57$. (1)
3. c)L’événement $33<X<57$ est $|X-45|<12$, contraire de $|X-45|⩾12$ (bornes exclues). Donc $P(33<X<57)⩾1-{\displaystyle \frac{5}{24}}={\displaystyle \frac{19}{24}}\approx 0,792$ : au moins $0,791$ en arrondissant par défaut. (1)
4. d)${\displaystyle \frac{30}{{\delta }^2}}=0,12⟺{\delta }^2={\displaystyle \frac{30}{0,12}}=250⟺\delta =\sqrt{250}$ (car $\delta >0$), soit $\delta \approx 15,8$. Interprétation : $P(|X-45|⩾\sqrt{250})⩽0,12$, donc $X$ appartient à $]45-\sqrt{250};45+\sqrt{250}[$, avec une probabilité d’au moins $0,88$ ; cet intervalle contient $]29,2;60,8[$ et est contenu dans $]29,1;60,9[$, en particulier $P(29,1<X<60,9)⩾0,88$. (1)

Repère — Un intervalle « strictement compris entre » se traite par l’événement contraire : 1 − V/δ².

1. a)Pour une loi binomiale, $E(Y)=np=160\times 0,15=24$ et $V(Y)=np(1-p)=160\times 0,15\times 0,85=20,4$. (1)
2. b)D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =11$ : $P(|Y-24|⩾11)⩽{\displaystyle \frac{20,4}{121}}\approx 0,1686$, soit au plus $0,169$. (1)
3. c)Pour $\delta =4$ : ${\displaystyle \frac{20,4}{16}}=1,275>1$. L’inégalité affirme seulement que la probabilité est au plus $1,275$, ce qui est vrai de toute probabilité : elle n’apporte rien. C’est le cas car $\delta =4<\sigma (Y)=\sqrt{20,4}\approx 4,52$. (1)
4. d)${\displaystyle \frac{20,4}{{\delta }^2}}⩽0,1⟺{\delta }^2⩾204⟺\delta ⩾\sqrt{204}\approx 14,28$. Le plus petit entier est $\delta =15$ (${14}^2=196<204$ et ${15}^2=225⩾204$). Alors $P(|Y-24|⩾15)⩽{\displaystyle \frac{20,4}{225}}<0,1$, donc $P(|Y-24|<15)⩾0,9$. Comme $Y$ est entière, $|Y-24|<15⟺10⩽Y⩽38$ : $P(10⩽Y⩽38)⩾0,9$. (1)

Repère — Pour une variable entière, |Y − μ| < δ se traduit en un intervalle d’entiers : on vérifie les deux bornes.

1. a)Par linéarité de l’espérance, $E(T_1+\cdots +T_{140})=140\times 32$, donc $E(M_{140})={\displaystyle \frac{140\times 32}{140}}=32$. Les $T_i$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme des variances : $V(T_1+\cdots +T_{140})=140\times 7^2=140\times 49$. Ainsi $V(M_{140})={\displaystyle \frac{140\times 49}{{140}^2}}={\displaystyle \frac{49}{140}}=0,35$. (1)
2. b)D’après l’inégalité de concentration (Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_{140}$) avec $\delta =1,4$ : $P(|M_{140}-32|⩾1,4)⩽{\displaystyle \frac{0,35}{1,96}}={\displaystyle \frac{5}{28}}\approx 0,179$. Le temps moyen est donc compris strictement entre $30,6$ et $33,4$ minutes avec une probabilité d’au moins ${\displaystyle \frac{23}{28}}\approx 0,82$. (1)
3. c)Le majorant vaut ${\displaystyle \frac{49}{n\times 1,96}}={\displaystyle \frac{25}{n}}$. Il suffit que ${\displaystyle \frac{25}{n}}⩽0,015$, c’est-à-dire $n⩾{\displaystyle \frac{25}{0,015}}\approx 1666,7$. Le nombre minimal est $n=1667$ trajets. (1)
4. d)L’élève a utilisé la variance d’un seul trajet, $V(T)=49$, au lieu de celle de la moyenne, $V(M_{140})={\displaystyle \frac{49}{140}}$ : il a oublié de diviser par $n$. Son résultat est d’ailleurs absurde, puisqu’un majorant égal à $25$ pour une probabilité n’apprend rien. Le bon calcul donne ${\displaystyle \frac{0,35}{1,96}}\approx 0,179$. (1)

Repère — La moyenne de n observations indépendantes a une variance n fois plus petite : c’est tout le gain de l’échantillon.

1. a)$X_i$ prend la valeur $1$ avec la probabilité $0,38$ et $0$ sinon : elle suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,38$. $E(X_i)=0,38$ et $V(X_i)=0,38\times 0,62=0,2356$. (1)
2. b)$F_{1200}$ est la moyenne d’un échantillon de taille $1200$ de la loi de $X_i$. D’après l’inégalité de concentration : $P(|F_{1200}-0,38|⩾0,045)⩽{\displaystyle \frac{0,2356}{1200\times 0,002025}}={\displaystyle \frac{0,2356}{2,43}}\approx 0,09695$, soit au plus $0,097$. (1)
3. c)Pour tout $p$, $p(1-p)={\displaystyle \frac{1}{4}}-{(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, donc $P(|F_n-p|⩾0,045)⩽{\displaystyle \frac{0,25}{0,002025n}}$. Il suffit que ${\displaystyle \frac{0,25}{0,002025n}}⩽0,06$, soit $n⩾{\displaystyle \frac{0,25}{0,0001215}}\approx 2057,6$. La plus petite taille garantie est $n=2058$. (1)
4. d)D’après la loi faible des grands nombres, pour tout $\delta >0$, $\underset{n\to +\infty }{lim}P(|F_n-0,38|⩾\delta )=0$ : la fréquence se stabilise autour de $0,38$. On ne peut pas affirmer $F_{1200}=0,38$ : $F_{1200}$ reste une variable aléatoire, et la loi ne dit pas que la fréquence devient égale à $p$, seulement que les écarts deviennent de moins en moins probables. La question 2 donne d’ailleurs un écart d’au moins $0,045$ avec une probabilité qui peut atteindre $0,097$. (1)

Repère — Quand p est inconnu, la variance d’une réponse est au plus 1/4 : la taille trouvée vaut pour tout p.

1. a)$E(Z)=0,5\times 2+0,3\times 5+0,2\times 11=1+1,5+2,2=4,7$. $E(Z^2)=0,5\times 4+0,3\times 25+0,2\times 121=2+7,5+24,2=33,7$, donc $V(Z)=E(Z^2)-E(Z{)}^2=33,7-22,09=11,61$. (1)
2. b)$|Z-4,7|⩾3,7⟺Z⩽1$ ou $Z⩾8,4$. Parmi les valeurs $2$, $5$, $11$, seule $11$ convient : la probabilité exacte vaut $P(Z=11)=0,2$. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|Z-4,7|⩾3,7)⩽{\displaystyle \frac{11,61}{3,7^2}}={\displaystyle \frac{11,61}{13,69}}=0,84806\dots$, soit au plus $0,849$. (1)
3. c)$M_{350}$ est la moyenne d’un échantillon de taille $350$ de la loi de $Z$ : $V(M_{350})={\displaystyle \frac{11,61}{350}}$. D’après l’inégalité de concentration : $P(|M_{350}-4,7|⩾0,55)⩽{\displaystyle \frac{11,61}{350\times 0,3025}}={\displaystyle \frac{11,61}{105,875}}\approx 0,1097$, soit au plus $0,110$. (1)
4. d)$0,849$ (environ $85\%$) est un majorant, pas la probabilité : l’inégalité dit « au plus $0,849$ ». Ce majorant est valable pour toutes les lois d’espérance $4,7$ et de variance $11,61$, donc il est souvent grossier. Ici la valeur exacte, calculée à la question 2, vaut $0,2$ : l’événement a $20\%$ de chances de se produire, pas $85\%$. (1)

Repère — Quand la loi est connue, le calcul exact est toujours meilleur que le majorant de Bienaymé-Tchebychev.