Concentration et loi des grands nombres

Majorer chaque probabilité avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Écris la valeur décimale exacte ou une fraction (exemple : 2/7).

1. $E(X)=12$ et $V(X)=5$ : $P(|X-12|⩾4)⩽$
   $\delta =4$, donc ${\displaystyle \frac{V(X)}{{\delta }^2}}={\displaystyle \frac{5}{16}}=0,3125$.
2. $E(X)=-3$ et $V(X)=0,8$ : $P(|X+3|⩾2)⩽$
   $|X+3|=|X-(-3)|$ : c’est l’écart à l’espérance $-3$, avec $\delta =2$. Majorant : ${\displaystyle \frac{0,8}{4}}=0,2$.
3. $E(X)=150$ et $\sigma (X)=10$ : $P(|X-150|⩾25)⩽$
   L’énoncé donne l’écart type : $V(X)={10}^2=100$. Majorant : ${\displaystyle \frac{100}{625}}=0,16$.
4. $E(X)=0$ et $V(X)=18$ : $P(|X|⩾9)⩽$ (fraction)
   ${\displaystyle \frac{18}{81}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\approx 0,222$.

Lire et écrire l’événement « écart à l’espérance ».

1. $E(X)=40$ : l’événement $|X-40|⩾7$ s’écrit « $X⩽$ ou $X⩾47$ »
   $|X-40|⩾7⟺X-40⩽-7$ ou $X-40⩾7$, soit $X⩽33$ ou $X⩾47$.
2. $E(X)=60$ : l’événement « $X⩽52$ ou $X⩾68$ » est $|X-60|⩾\delta$ avec $\delta =$
   $52=60-8$ et $68=60+8$ : l’intervalle est centré en $60$ et $\delta =8$.
3. Avec de plus $V(X)=10$ : $P(X⩽52\text{ ou }X⩾68)⩽$
   D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(|X-60|⩾8)⩽{\displaystyle \frac{10}{64}}={\displaystyle \frac{5}{32}}=0,15625$.
4. $E(Y)=15$ : le contraire de $|Y-15|⩾2,5$ est l’événement $<Y<17,5$
   Le contraire de $|Y-15|⩾2,5$ est $|Y-15|<2,5$, soit $15-2,5<Y<15+2,5$ : $12,5<Y<17,5$, bornes exclues.

$X$ a pour espérance $30$ et pour écart type $\sigma =4$. Raisonne en nombre d’écarts types. Écris une fraction ou la valeur décimale exacte.

1. $P(|X-30|⩾12)⩽$
   $12=3\times 4=3\sigma$, donc le majorant est ${\displaystyle \frac{1}{3^2}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$ (ou ${\displaystyle \frac{16}{144}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$).
2. $P(|X-30|⩾20)⩽$
   $20=5\sigma$ : majorant ${\displaystyle \frac{1}{25}}=0,04$.
3. Le plus petit entier $k$ pour lequel l’inégalité garantit $P(|X-30|⩾k\sigma )⩽0,05$ est $k=$
   On veut ${\displaystyle \frac{1}{k^2}}⩽0,05⟺k^2⩾20$. Or $4^2=16<20$ et $5^2=25⩾20$ : $k=5$, soit un écart de $20$.

$Z$ prend les valeurs $-2$, $1$ et $4$ avec les probabilités $0,2$ ; $0,6$ ; $0,2$.

1. $E(Z)=$
   $E(Z)=0,2\times (-2)+0,6\times 1+0,2\times 4=-0,4+0,6+0,8=1$.
2. $V(Z)=$
   $V(Z)=0,2\times (-3{)}^2+0,6\times 0^2+0,2\times 3^2=1,8+0+1,8=3,6$.
3. Démontrer que, pour $\delta =3$, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est une égalité. Valeur commune des deux membres :
   Rédaction attendue. $|Z-1|⩾3$ signifie $Z⩽-2$ ou $Z⩾4$, donc $Z=-2$ ou $Z=4$ (la valeur $1$ donne un écart nul). Ainsi $P(|Z-1|⩾3)=0,2+0,2=0,4$. D’autre part, ${\displaystyle \frac{V(Z)}{{\delta }^2}}={\displaystyle \frac{3,6}{9}}=0,4$. Les deux membres sont égaux : l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ne peut pas être améliorée en général, même si elle est souvent grossière.

Minorer chaque probabilité avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Écris une fraction ou la valeur décimale exacte.

1. $E(X)=50$, $V(X)=16$ : $P(44<X<56)⩾$
   $44<X<56⟺|X-50|<6$, contraire de $|X-50|⩾6$. Donc $P(44<X<56)⩾1-{\displaystyle \frac{16}{36}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$.
2. $E(X)=8$, $V(X)=1,2$ : $P(6<X<10)⩾$
   $\delta =2$ : $1-{\displaystyle \frac{1,2}{4}}=1-0,3=0,7$.
3. $E(X)=200$, $\sigma (X)=15$ : $P(155<X<245)⩾$
   $\delta =45=3\sigma$ et $V(X)=225$ : $1-{\displaystyle \frac{225}{2025}}=1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$.

$Y$ suit la loi binomiale $ℬ(90;0,4)$.

1. $E(Y)=$
   $E(Y)=np=90\times 0,4=36$.
2. $V(Y)=$
   $V(Y)=np(1-p)=90\times 0,4\times 0,6=21,6$.
3. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(|Y-36|⩾9)⩽$ (arrondi au millième par excès)
   ${\displaystyle \frac{21,6}{81}}={\displaystyle \frac{4}{15}}=0,2666\dots$ ; un majorant s’arrondit par excès : au plus $0,267$.

$X$ a pour espérance $25$ et pour variance $10$.

1. Majorer $P(X⩾35)$ avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(X⩾35)⩽$
   Rédaction attendue. Si $X⩾35$, alors $X-25⩾10$, donc $|X-25|⩾10$ : l’événement $X⩾35$ est contenu dans $|X-25|⩾10$. Ainsi $P(X⩾35)⩽P(|X-25|⩾10)$. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P(|X-25|⩾10)⩽{\displaystyle \frac{10}{100}}=0,1$. Donc $P(X⩾35)⩽0,1$.
2. Le plus petit réel $\delta >0$ tel que ${\displaystyle \frac{10}{{\delta }^2}}⩽0,025$ est $\delta =$
   ${\displaystyle \frac{10}{{\delta }^2}}⩽0,025⟺{\delta }^2⩾400⟺\delta ⩾20$ (car $\delta >0$).
3. On en déduit $P(5<X<45)⩾$
   Avec $\delta =20$ : $P(|X-25|<20)⩾1-0,025=0,975$, et $|X-25|<20⟺5<X<45$.

$W$ suit la loi $ℬ(4;0,5)$ : $E(W)=2$ et $V(W)=1$. Écris une valeur décimale exacte.

1. Valeur exacte : $P(|W-2|⩾2)=$
   $|W-2|⩾2⟺W=0$ ou $W=4$. $P(W=0)=0,5^4=0,0625$ et $P(W=4)=0,0625$ : total $0,125$.
2. Majorant donné par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $\delta =2$ :
   ${\displaystyle \frac{V(W)}{{\delta }^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$ : c’est le double de la valeur exacte $0,125$.
3. Pour $\delta =1$, justifier que l’inégalité n’apprend rien. Le majorant vaut
   Rédaction attendue. Pour $\delta =1$, ${\displaystyle \frac{V(W)}{{\delta }^2}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme alors $P(|W-2|⩾1)⩽1$, ce qui est vrai pour toute probabilité : elle n’apporte aucune information. C’est le cas dès que $\delta ⩽\sigma$ (ici $\sigma =1$). En réalité, $P(|W-2|⩾1)=1-P(W=2)=1-6\times 0,5^4=0,625$.

$M_n$ est la moyenne d’un échantillon de taille $n$. Majorer avec l’inégalité de concentration (valeur décimale exacte).

1. $\mu =20$, $V=6$, $n=60$ : $P(|M_{60}-20|⩾0,5)⩽$
   ${\displaystyle \frac{6}{60\times 0,25}}={\displaystyle \frac{6}{15}}=0,4$.
2. $\mu =-1$, $V=2,5$, $n=400$ : $P(|M_{400}+1|⩾0,1)⩽$
   ${\displaystyle \frac{2,5}{400\times 0,01}}={\displaystyle \frac{2,5}{4}}=0,625$.
3. $\mu =9$, $\sigma =3$, $n=100$ : $P(|M_{100}-9|⩾0,6)⩽$
   $V=3^2=9$ : ${\displaystyle \frac{9}{100\times 0,36}}={\displaystyle \frac{9}{36}}=0,25$.

Un ticket de loterie est gagnant avec la probabilité $0,2$. On achète $1000$ tickets, indépendants ; $F$ est la fréquence des tickets gagnants.

1. La variance d’une observation (loi de Bernoulli) vaut
   $V=p(1-p)=0,2\times 0,8=0,16$.
2. $P(|F-0,2|⩾0,03)⩽$ (arrondi au millième par excès)
   D’après l’inégalité de concentration : ${\displaystyle \frac{0,16}{1000\times 0,0009}}={\displaystyle \frac{0,16}{0,9}}={\displaystyle \frac{8}{45}}\approx 0,1778$, soit au plus $0,178$.
3. La fréquence est dans $]0,17;0,23[$ avec une probabilité d’au moins (arrondi au millième par défaut)
   Événement contraire : $1-{\displaystyle \frac{8}{45}}={\displaystyle \frac{37}{45}}\approx 0,8222$ ; un minorant s’arrondit par défaut : au moins $0,822$.

$(X_1,\dots ,X_{50})$ est un échantillon d’une variable d’espérance $4$ et de variance $3$, de moyenne $M_{50}$. Écris une valeur décimale exacte ou une fraction.

1. Démontrer la valeur de la variance de $M_{50}$ : $V(M_{50})=$
   Rédaction attendue. Les $X_i$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme des variances : $V(X_1+\cdots +X_{50})=50\times 3=150$. Comme $M_{50}={\displaystyle \frac{1}{50}}(X_1+\cdots +X_{50})$, on a $V(M_{50})={\displaystyle \frac{1}{{50}^2}}\times 150={\displaystyle \frac{150}{2500}}=0,06$. On applique ensuite l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $M_{50}$, d’espérance $4$ : c’est l’inégalité de concentration.
2. $P(|M_{50}-4|⩾0,3)⩽$ (fraction)
   ${\displaystyle \frac{0,06}{0,09}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx 0,667$.
3. Avec $n=200$ observations et le même écart $0,3$, le majorant devient (fraction)
   $V(M_{200})={\displaystyle \frac{3}{200}}=0,015$ et ${\displaystyle \frac{0,015}{0,09}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$ : multiplier $n$ par $4$ divise le majorant par $4$.

Une variable a pour espérance $10$ et pour variance $8$ ; $M_n$ est la moyenne d’un échantillon de taille $n$.

1. Pour $n=50$ et $\delta =0,4$, le majorant de l’inégalité de concentration vaut
   ${\displaystyle \frac{8}{50\times 0,16}}={\displaystyle \frac{8}{8}}=1$ : l’inégalité n’apprend rien ici.
2. Le plus petit $n$ pour lequel ce majorant (avec $\delta =0,4$) est inférieur ou égal à $0,25$ : $n=$
   ${\displaystyle \frac{8}{0,16n}}⩽0,25⟺{\displaystyle \frac{50}{n}}⩽0,25⟺n⩾200$.
3. Pour $n=50$, le plus petit $\delta >0$ qui donne un majorant inférieur ou égal à $0,25$ : $\delta =$
   ${\displaystyle \frac{8}{50{\delta }^2}}⩽0,25⟺{\delta }^2⩾{\displaystyle \frac{8}{12,5}}=0,64⟺\delta ⩾0,8$. Pour le même majorant, il faut soit quatre fois plus d’observations, soit accepter un écart deux fois plus grand.

Vers quelle valeur la moyenne (ou la fréquence) observée se stabilise-t-elle quand le nombre de répétitions indépendantes grandit ? Écris une valeur décimale exacte ou une fraction.

1. Une roue équilibrée a $10$ secteurs numérotés de $1$ à $10$ : moyenne des numéros obtenus
   $E(X)={\displaystyle \frac{1+2+\cdots +10}{10}}={\displaystyle \frac{55}{10}}=5,5$ : d’après la loi des grands nombres, la moyenne se rapproche de $5,5$.
2. Un dé équilibré à $12$ faces : fréquence d’un multiple de $3$
   Les multiples de $3$ sont $3$, $6$, $9$, $12$ : probabilité ${\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, vers laquelle la fréquence se stabilise.
3. Un jeu rapporte $10$ € avec la probabilité $0,1$ et fait perdre $2$ € sinon : gain moyen par partie, en €
   $E(G)=10\times 0,1+(-2)\times 0,9=1-1,8=-0,8$ : à long terme, le joueur perd en moyenne $0,80$ € par partie.

$M_n$ est la moyenne d’un échantillon de taille $n$ d’une variable d’espérance $\mu$ et de variance $4$.

1. $\underset{n\to +\infty }{lim}P(|M_n-\mu |⩾0,01)=$
   C’est la loi faible des grands nombres, avec $\delta =0,01$.
2. $\underset{n\to +\infty }{lim}P(|M_n-\mu |<0,01)=$
   C’est l’événement contraire : sa probabilité vaut $1-P(|M_n-\mu |⩾0,01)$, qui tend vers $1-0=1$.
3. Le majorant de l’inégalité de concentration pour $\delta =0,01$ est inférieur ou égal à $1$ à partir de $n=$
   ${\displaystyle \frac{4}{0,0001n}}={\displaystyle \frac{40000}{n}}⩽1⟺n⩾40000$ : avant, l’inégalité n’apprend rien, même si la probabilité tend bien vers $0$.

Un archer touche la cible avec la probabilité $0,7$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. $F_n$ est la fréquence des tirs réussis sur $n$ tirs.

1. Démontrer que $P(|F_n-0,7|⩾0,1)$ tend vers $0$. Le majorant obtenu s’écrit ${\displaystyle \frac{a}{n}}$ avec $a=$
   Rédaction attendue. Soit $X_i$ la variable qui vaut $1$ si le tir $i$ est réussi et $0$ sinon : elle suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,7$, d’espérance $0,7$ et de variance $0,7\times 0,3=0,21$. Les $X_i$ sont indépendantes et $F_n$ est leur moyenne. D’après l’inégalité de concentration, pour tout $n⩾1$ : $0⩽P(|F_n-0,7|⩾0,1)⩽{\displaystyle \frac{0,21}{n\times 0,01}}={\displaystyle \frac{21}{n}}$. Or $\underset{n\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{21}{n}}=0$. D’après le théorème des gendarmes, $\underset{n\to +\infty }{lim}P(|F_n-0,7|⩾0,1)=0$.
2. Ce majorant est inférieur ou égal à $0,01$ dès que $n⩾$ (plus petit entier)
   ${\displaystyle \frac{21}{n}}⩽0,01⟺n⩾2100$.

Une pièce équilibrée vient de donner pile lors de ses $10$ premiers lancers. On continue de la lancer ; les lancers sont indépendants. Écris une valeur décimale exacte.

1. Probabilité que le ${11}^{\text{e}}$ lancer donne face :
   Les lancers sont indépendants : le passé ne change rien, face garde la probabilité $0,5$.
2. Espérance du nombre total de piles sur les $1000$ premiers lancers (les $10$ piles compris) :
   Les $10$ premiers sont des piles ; les $990$ suivants donnent en moyenne $990\times 0,5=495$ piles. Total : $10+495=505$.
3. Expliquer pourquoi la fréquence de pile se rapproche quand même de la probabilité de pile. Espérance de la fréquence de pile sur $10000$ lancers :
   Rédaction attendue. Sur $10000$ lancers, l’espérance du nombre de piles est $10+9990\times 0,5=10+4995=5005$, donc l’espérance de la fréquence est ${\displaystyle \frac{5005}{10000}}=0,5005$. L’excès de $10$ piles n’est pas compensé par des faces : il est dilué dans un nombre de lancers de plus en plus grand (il pèse ${\displaystyle \frac{5}{1000}}$ de la fréquence sur $1000$ lancers, ${\displaystyle \frac{5}{10000}}$ sur $10000$). C’est ainsi que la fréquence se rapproche de $0,5$, comme l’annonce la loi des grands nombres.

Donner la plus petite taille $n$ pour laquelle l’inégalité de concentration garantit $P(|M_n-\mu |⩾\delta )⩽\alpha$.

1. $V=9$, $\delta =0,5$, $\alpha =0,1$ : $n=$
   $n⩾{\displaystyle \frac{9}{0,1\times 0,25}}={\displaystyle \frac{9}{0,025}}=360$.
2. $V=0,5$, $\delta =0,1$, $\alpha =0,04$ : $n=$
   $n⩾{\displaystyle \frac{0,5}{0,04\times 0,01}}={\displaystyle \frac{0,5}{0,0004}}=1250$.
3. $\sigma =2$, $\delta =0,25$, $\alpha =0,02$ : $n=$
   $V=4$ et ${\delta }^2=0,0625$ : $n⩾{\displaystyle \frac{4}{0,02\times 0,0625}}={\displaystyle \frac{4}{0,00125}}=3200$.

Proportion $p$ inconnue : on majore la variance par ${\displaystyle \frac{1}{4}}$. Donner la plus petite taille $n$ qui garantit $P(|F_n-p|⩾\delta )⩽\alpha$.

1. $\delta =0,05$, $\alpha =0,05$ : $n=$
   $n⩾{\displaystyle \frac{0,25}{0,05\times 0,0025}}={\displaystyle \frac{0,25}{0,000125}}=2000$.
2. $\delta =0,01$, $\alpha =0,1$ : $n=$
   $n⩾{\displaystyle \frac{0,25}{0,1\times 0,0001}}={\displaystyle \frac{0,25}{0,00001}}=25000$ : une précision de $0,01$ coûte cher.

On veut estimer une proportion avec la précision $\delta =0,04$ et le risque $\alpha =0,1$.

1. Démontrer que $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$ pour tout réel $p$. L’égalité a lieu pour $p=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $p$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}-p(1-p)={\displaystyle \frac{1}{4}}-p+p^2={(p-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2⩾0$. Donc $p(1-p)⩽{\displaystyle \frac{1}{4}}$, avec égalité si et seulement si $p-{\displaystyle \frac{1}{2}}=0$, c’est-à-dire $p=0,5$.
2. Si l’on sait que $p=0,3$, la plus petite taille est $n=$
   $V=0,3\times 0,7=0,21$ et $n⩾{\displaystyle \frac{0,21}{0,1\times 0,0016}}={\displaystyle \frac{0,21}{0,00016}}=1312,5$ : l’entier supérieur est $1313$.
3. Si $p$ est inconnu, la plus petite taille garantie est $n=$
   $n⩾{\displaystyle \frac{0,25}{0,00016}}=1562,5$, donc $n=1563$ : un peu plus que pour $p=0,3$, mais valable pour tout $p$.

Sondage, $p$ inconnu ($V$ majorée par ${\displaystyle \frac{1}{4}}$), risque $\alpha =0,05$. Arrondis la précision au millième par excès.

1. Pour $n=1000$, la plus petite précision garantie est $\delta \approx$
   ${\delta }^2={\displaystyle \frac{0,25}{1000\times 0,05}}=0,005$, donc $\delta =\sqrt{0,005}\approx 0,0707$ ; par excès, $0,071$.
2. Pour $n=4000$, elle devient $\delta \approx$
   ${\delta }^2={\displaystyle \frac{0,25}{4000\times 0,05}}=0,00125$ et $\delta \approx 0,0354$, soit $0,036$ par excès : quatre fois plus de personnes divisent la précision par $2$ seulement.
3. Pour $n=1000$ et une précision $\delta =0,1$, le risque garanti est $\alpha =$
   $\alpha ={\displaystyle \frac{0,25}{1000\times 0,01}}={\displaystyle \frac{0,25}{10}}=0,025$.