Concentration et loi des grands nombres

a) D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =5$ : $P(|X-12|\ge 5)\le \frac{V(X)}{5^2}=\frac{10}{25}$, soit $P(|X-12|\ge 5)\le 0,4$.

b) Avec $\delta =8$ : $P(|X-12|\ge 8)\le \frac{10}{64}=0,15625$, soit $P(|X-12|\ge 8)\le 0,156$ (arrondi au millième).

c) L'événement « $4<X<20$ » est « $|X-12|<8$ », contraire de « $|X-12|\ge 8$ ». Donc $P(4<X<20)=1-P(|X-12|\ge 8)\ge 1-0,15625$, soit $P(4<X<20)\ge 0,844$ : $X$ est dans $]4;20[$ avec une probabilité d'au moins $84\%$.

a) Pour une loi binomiale, $E(X)=np=60\times 0,3=$ $18$ et $V(X)=np(1-p)=60\times 0,3\times 0,7=$ $12,6$. L'écart-type est $\sigma (X)=\sqrt{12,6}\approx$ $3,55$.

b) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =9$ : $P(|X-18|\ge 9)\le \frac{12,6}{81}\approx 0,1556$, soit $P(|X-18|\ge 9)\le 0,156$.

c) $|X-18|\ge 9$ signifie $X-18\le -9$ ou $X-18\ge 9$, c'est-à-dire $X\le 9$ ou $X\ge 27$. La probabilité d'obtenir au plus $9$ succès ou au moins $27$ succès est donc inférieure à $0,156$.

a) $E(M_{64})=E(X)=$ $50$. Les $X_i$ étant indépendantes, $V(M_{64})=\frac{V(X)}{64}=\frac{4^2}{64}=\frac{16}{64}=$ $0,25$, d'où $\sigma (M_{64})=\sqrt{0,25}=$ $0,5$ (on retrouve $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{4}{8}$).

b) Inégalité de concentration avec $\delta =1,5$ : $P(|M_{64}-50|\ge 1,5)\le \frac{V(M_{64})}{1,5^2}=\frac{0,25}{2,25}=\frac{1}{9}$, soit $P(|M_{64}-50|\ge 1,5)\le \frac{1}{9}\approx 0,111$.

c) « $48,5<M_{64}<51,5$ » est le contraire de « $|M_{64}-50|\ge 1,5$ ». Donc $P(48,5<M_{64}<51,5)\ge 1-\frac{1}{9}$, soit $P(48,5<M_{64}<51,5)\ge \frac{8}{9}\approx 0,889$.

a) $V(X)=2,5^2=6,25$. Avec $\delta =5$ : $P(|X-40|\ge 5)\le \frac{6,25}{25}=$ $0,25$. On remarque que $5=2\sigma$ : on retrouve la majoration $\frac{1}{2^2}$.

b) Avec $\delta =7,5=3\sigma$ : $P(|X-40|\ge 7,5)\le \frac{6,25}{56,25}=\frac{1}{9}$, soit $P(|X-40|\ge 7,5)\le \frac{1}{9}\approx 0,111$.

c) Il suffit que $\frac{6,25}{{\delta }^2}\le 0,01$, soit ${\delta }^2\ge \frac{6,25}{0,01}=625$, soit $\delta \ge 25$. Avec $\delta =25$ (dix écarts-types), on a $P(|X-40|\ge 25)\le 0,01$.

d) Pour $\delta =2$ : $\frac{6,25}{4}=1,5625>1$. L'inégalité donne $P(|X-40|\ge 2)\le 1,5625$, ce qui est vrai mais n'apporte aucune information : toute probabilité est déjà inférieure à $1$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est utile que pour $\delta >\sigma$.

a) Chaque $X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0,4$ : $E(X_i)=0,4$ et $V(X_i)=0,4\times 0,6=0,24$. Donc $E(M_{600})=$ $0,4$ et $V(M_{600})=\frac{0,24}{600}=$ $0,0004$.

b) Inégalité de concentration avec $\delta =0,03$ : $P(|M_{600}-0,4|\ge 0,03)\le \frac{0,0004}{0,{03}^2}=\frac{0,0004}{0,0009}=\frac{4}{9}$, soit $P(|M_{600}-0,4|\ge 0,03)\le 0,444$.

c) Pour $n$ lancers, $P(|M_n-0,4|\ge 0,03)\le \frac{0,24}{n\times 0,0009}$. Il suffit que $\frac{0,24}{0,0009n}\le 0,05$, soit $n\ge \frac{0,24}{0,05\times 0,0009}=\frac{0,24}{0,000045}\approx 5333,3$. Comme $n$ est entier, il faut au moins $5334$ lancers.

a) $X$ prend les valeurs $1,2,3,4$ avec la probabilité $\frac{1}{4}$ chacune. $E(X)=\frac{1+2+3+4}{4}=$ $2,5$. $E(X^2)=\frac{1+4+9+16}{4}=7,5$, donc $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=7,5-6,25=$ $1,25$.

b) Les lancers sont indépendants, donc $V(M_{200})=\frac{1,25}{200}$. Inégalité de concentration avec $\delta =0,2$ : $P(|M_{200}-2,5|\ge 0,2)\le \frac{1,25}{200\times 0,04}=\frac{1,25}{8}=0,15625$, soit $P(|M_{200}-2,5|\ge 0,2)\le 0,156$.

c) L'événement contraire est $2,3<M_{200}<2,7$ et sa probabilité est au moins $1-0,15625=0,84375$. La moyenne des $200$ lancers est comprise strictement entre $2,3$ et $2,7$ avec une probabilité d'au moins $0,844$, soit environ $84\%$.

a) $p(1-p)-\frac{1}{4}=p-p^2-\frac{1}{4}=-(p^2-p+\frac{1}{4})=-{(p-\frac{1}{2})}^2\le 0$. Donc $p(1-p)\le \frac{1}{4}$, avec égalité si et seulement si $p=\frac{1}{2}$.

b) Chaque réponse est une variable de Bernoulli de paramètre $p$, de variance $V=p(1-p)\le \frac{1}{4}$. L'inégalité de concentration donne $P(|F_n-p|\ge 0,04)\le \frac{V}{n\times 0,0016}\le \frac{1}{4\times 0,0016n}=\frac{1}{0,0064n}$. Il suffit que $\frac{1}{0,0064n}\le 0,02$, soit $n\ge \frac{1}{0,02\times 0,0064}=\frac{1}{0,000128}=7812,5$. Il suffit d'interroger $7813$ personnes.

c) Avec $V=0,09$ : il suffit que $\frac{0,09}{0,0016n}\le 0,02$, soit $n\ge \frac{0,09}{0,02\times 0,0016}=\frac{0,09}{0,000032}=2812,5$. Une taille de $2813$ suffit : connaître l'ordre de grandeur de $p$ divise presque par $3$ la taille nécessaire.

a) $E(X)=100\times 0,5=50$ et $V(X)=100\times 0,5\times 0,5=25$. Avec $\delta =10$ : $P(|X-50|\ge 10)\le \frac{25}{100}=0,25$.

b) $|X-50|\ge 10$ signifie $X\le 40$ ou $X\ge 60$. Par symétrie de la loi $ℬ(100;0,5)$, $P(X\ge 60)=P(X\le 40)$. La calculatrice donne $P(X\le 40)\approx 0,0284$, donc $P(|X-50|\ge 10)\approx 0,057$.

c) L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'utilise que l'espérance et la variance : elle est valable pour toutes les lois d'espérance $50$ et de variance $25$, y compris celles qui concentrent leur masse loin de la moyenne. La loi binomiale, elle, est très concentrée autour de $50$ (les valeurs éloignées ont une probabilité minuscule). La majoration doit couvrir le pire cas, d'où un écart d'un facteur $4$ environ avec la valeur exacte.

d) Posons $P(Y=-10)=P(Y=10)=q$ et $P(Y=0)=1-2q$. Par symétrie, $E(Y)=-10q+10q=0$. $V(Y)=E(Y^2)=100q+100q=200q$ ; on veut $200q=25$, soit $q=\frac{1}{8}$. Ainsi $P(Y=-10)=P(Y=10)=\frac{1}{8}$ et $P(Y=0)=\frac{3}{4}$. Alors $P(|Y-0|\ge 10)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}=\frac{25}{{10}^2}$ : l'inégalité est une égalité. Cela montre que la constante $\frac{V}{{\delta }^2}$ ne peut pas être améliorée en général.

a) On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta =k\sigma >0$ : $P(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{V(X)}{(k\sigma {)}^2}=\frac{{\sigma }^2}{k^2{\sigma }^2}=\frac{1}{k^2}$, car $V(X)={\sigma }^2$ et $\sigma \ne 0$. Donc $P(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$.

b) Avec $k=4$ : $P(|X-\mu |\ge 4\sigma )\le \frac{1}{16}$. L'événement contraire est « $\mu -4\sigma <X<\mu +4\sigma$ », donc $P(\mu -4\sigma <X<\mu +4\sigma )\ge \frac{15}{16}=0,9375$.

c) On cherche $k$ tel que $\frac{1}{k^2}\le 0,04$, soit $k^2\ge 25$, soit $k\ge 5$. Avec $k=5$, $\delta =5\times 15=75$ : $P(|X-250|\ge 75)\le 0,04$, donc $P(175<X<325)\ge 0,96$. L'intervalle $]175;325[$ convient.

d) L'inégalité $P(|X-\mu |\ge \sigma )\le 1$ est un majorant : elle dit que cette probabilité est au plus $1$, ce qui est vrai de toute probabilité, et ne dit rien sur sa valeur. Elle ne permet en aucun cas d'affirmer qu'elle vaut $1$. Par exemple, pour la variable $Y$ de l'exercice précédent, $P(|Y|\ge \sigma )=P(|Y|\ge 5)=\frac{1}{4}$, très loin de $1$. L'élève confond « au plus » et « égal à ».

a) Les $X_i$ sont indépendantes et de même loi, donc $V(M_n)=\frac{3,2}{n}$ et $E(M_n)=6$. L'inégalité de concentration avec $\delta =0,8$ donne $P(|M_n-6|\ge 0,8)\le \frac{3,2}{n\times 0,64}=\frac{5}{n}$. Donc $P(|M_n-6|\ge 0,8)\le \frac{5}{n}$.

b) $\frac{5}{n}\le 0,001⟺n\ge \frac{5}{0,001}=5000$. Le plus petit entier convenable est $n=5000$.

c) Pour tout $n$, $0\le P(|M_n-6|\ge 0,8)\le \frac{5}{n}$ et $\frac{5}{n}\to 0$. Par le théorème des gendarmes, ${lim}_{n\to +\infty }P(|M_n-6|\ge 0,8)=0$. C'est la loi faible des grands nombres : pour tout $\delta >0$, la probabilité que la moyenne d'un échantillon s'écarte d'au moins $\delta$ de l'espérance tend vers $0$ quand la taille de l'échantillon tend vers $+\infty$.

d) Non. L'inégalité de concentration donne seulement $P(|M_{5000}-6|\ge 0,8)\le 0,001$. La valeur exacte dépend de la loi des $X_i$, que l'on ne connaît pas ; elle est en général bien inférieure au majorant. On ne peut pas remplacer une inégalité par une égalité.