Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration, loi faible des grands nombres et échantillonnage (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Concentration et loi des grands nombres » en terminale permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de terminale et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration, La loi faible des grands nombres. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Contrôle d'une chaîne d'embouteillage

Moyen

Une machine remplit des bouteilles. Le volume $X$ (en mL) versé dans une bouteille est une variable aléatoire d'espérance $750$ et d'écart-type $9$ . Les remplissages sont indépendants. On prélève des lots de $n$ bouteilles et on note $M_{n}$ le volume moyen du lot.

1. Pour $n = 36$ , déterminer $E (M_{36})$ , $V (M_{36})$ et $σ (M_{36})$ .
2. Majorer $P (| M_{36} - 750 | \geq 2, 5)$ .
3. La norme du fabricant exige que le volume moyen d'un lot s'écarte de moins de $1$ mL de $750$ mL avec une probabilité d'au moins $0, 9$ . Déterminer une taille de lot $n$ qui garantit cette norme.
4. Un contrôleur mesure un volume moyen de $746, 2$ mL sur un lot de $900$ bouteilles. En supposant que la machine est bien réglée ( $E (X) = 750$ ), majorer la probabilité d'observer un écart au moins aussi grand. Que peut-on en conclure ?

1. $E (M_{36}) = E (X) =$ $750$ mL. Par indépendance, $V (M_{36}) = \frac{V (X)}{36} = \frac{81}{36} =$ $2, 25$ et $σ (M_{36}) = \sqrt{2, 25} =$ $1, 5$ mL (on retrouve $\frac{9}{\sqrt{36}}$ ).

2. Inégalité de concentration avec $δ = 2, 5$ : $P (| M_{36} - 750 | \geq 2, 5) \leq \frac{2, 25}{2, 5^{2}} = \frac{2, 25}{6, 25} =$ $0, 36$ . Le volume moyen d'un lot de $36$ bouteilles est dans $] 747, 5; 752, 5 [$ avec une probabilité d'au moins $0, 64$ .

3. On veut $P (| M_{n} - 750 | \geq 1) \leq 0, 1$ . L'inégalité de concentration donne $P (| M_{n} - 750 | \geq 1) \leq \frac{81}{n \times 1^{2}} = \frac{81}{n}$ . Il suffit que $\frac{81}{n} \leq 0, 1$ , soit $n \geq 810$ . Un lot de $810$ bouteilles (ou plus) garantit la norme.

4. L'écart observé est $| 746, 2 - 750 | = 3, 8$ mL. Si la machine est bien réglée, l'inégalité de concentration avec $n = 900$ et $δ = 3, 8$ donne $P (| M_{900} - 750 | \geq 3, 8) \leq \frac{81}{900 \times 3, 8^{2}} = \frac{81}{900 \times 14, 44} = \frac{81}{12 996} \approx 0, 0062 .$ Sous l'hypothèse d'un bon réglage, un tel écart a une probabilité inférieure à $0, 7 %$ . Un événement aussi improbable s'étant produit, il est raisonnable de rejeter l'hypothèse : la machine est très probablement déréglée (elle verse en moyenne trop peu). On ne peut toutefois pas l'affirmer avec certitude, l'événement restant possible.

Problème 2 — Sondage électoral et simulation

Moyen

Dans une grande ville, on suppose qu'une proportion $p = 0, 52$ des électeurs a l'intention de voter pour la candidate A. Un institut interroge $n$ électeurs choisis au hasard et de manière indépendante ; $X_{i}$ vaut $1$ si le $i$ -ième électeur interrogé vote A, $0$ sinon, et $F_{n} = \frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n}$ est la fréquence observée.

1. Donner la loi de $X_{i}$ , son espérance et sa variance.
2. Pour $n = 1 000$ , majorer $P (| F_{1000} - 0, 52 | \geq 0, 025)$ .
3. Quelle taille $n$ garantit $P (| F_{n} - 0, 52 | \geq 0, 025) \leq 0, 1$ ?
4. Écrire une fonction Python $s o n d a g e (n)$ qui simule la fréquence $F_{n}$ , puis une fonction $p r o p o r t i o n (n, N)$ qui renvoie la proportion, sur $N$ simulations, des cas où $| F_{n} - 0, 52 | \geq 0, 025$ .
5. Pour $n = 1 000$ et $N = 10 000$ , la fonction renvoie environ $0, 11$ . Comparer avec la question 2 et commenter.
6. Un journaliste écrit : « Avec $1 000$ personnes interrogées, le sondage est exact à $2, 5$ points près. » Expliquer pourquoi cette phrase est incorrecte.

1. $X_{i}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0, 52$ : $E (X_{i}) = 0, 52$ et $V (X_{i}) = 0, 52 \times 0, 48 =$ $0, 2496$ .

2. Les $X_{i}$ sont indépendantes et de même loi, donc l'inégalité de concentration s'applique avec $n = 1 000$ et $δ = 0, 025$ : $P (| F_{1000} - 0, 52 | \geq 0, 025) \leq \frac{0, 2496}{1 000 \times 0, 025^{2}} = \frac{0, 2496}{0, 625} \approx 0, 399 .$ La probabilité est au plus $0, 4$ environ.

3. Il suffit que $\frac{0, 2496}{n \times 0, 000625} \leq 0, 1$ , soit $n \geq \frac{0, 2496}{0, 1 \times 0, 000625} = \frac{0, 2496}{0, 0000625} = 3 993, 6$ . Il faut interroger au moins $3 994$ électeurs.

from random import random

def sondage(n):
    c = 0
    for k in range(n):
        if random() < 0.52:
            c = c + 1
    return c / n

def proportion(n, N):
    e = 0
    for k in range(N):
        if abs(sondage(n) - 0.52) >= 0.025:
            e = e + 1
    return e / N

À chaque électeur, $r a n d o m () < 0.52$ se produit avec la probabilité $0, 52$ ; $s o n d a g e (n)$ renvoie donc une réalisation de $F_{n}$ .

5. La simulation estime $P (| F_{1000} - 0, 52 | \geq 0, 025)$ à environ $0, 11$ , ce qui est bien inférieur au majorant $0, 399$ : l'inégalité de concentration est respectée mais très grossière, car elle ne tient pas compte de la loi précise de $F_{n}$ , qui est concentrée autour de $0, 52$ .

6. La phrase affirme que l'écart est toujours inférieur à $0, 025$ . Or, avec $n = 1 000$ , la probabilité qu'il dépasse $0, 025$ n'est pas nulle : la simulation en donne environ $11 %$ . Un sondage n'est jamais « exact » à coup sûr : on ne peut parler de précision qu'avec un niveau de risque (« l'écart est inférieur à $2, 5$ points avec une probabilité d'environ $89 %$ »). C'est la loi des grands nombres qui assure que ce risque diminue quand $n$ augmente, sans jamais s'annuler.

Problème 3 — Détecter un dé pipé

Difficile

Un dé à six faces est pipé : la face $6$ sort avec la probabilité $0, 3$ et chacune des cinq autres faces avec la probabilité $0, 14$ . On note $X$ le résultat d'un lancer et $M_{n}$ la moyenne de $n$ lancers indépendants.

1. a) Calculer $E (X)$ .
1. b) Montrer que $V (X) = 3, 29$ .
2. Majorer $P (| M_{500} - 3, 9 | \geq 0, 3)$ .
3. Un joueur ignore que le dé est pipé. Pour un dé équilibré, on note $μ_{0}$ l'espérance et $V_{0}$ la variance d'un lancer : calculer $μ_{0}$ et $V_{0}$ . Le joueur observe une moyenne de $3, 86$ sur $500$ lancers. Sous l'hypothèse « dé équilibré », majorer $P (| M_{500} - μ_{0} | \geq 0, 36)$ et conclure.
4. On propose la fonction Python ci-dessous pour simuler le dé pipé. Expliquer pourquoi elle renvoie 6 avec la probabilité 0,3 et chaque autre face avec la probabilité 0,14.
```
from random import random, randint

def de_pipe():
    u = random()
    if u < 0.3:
        return 6
    return randint(1, 5)
```
5. Vers quelle valeur se stabilise la moyenne de $n$ lancers simulés quand $n$ devient grand ? Justifier.

1. a) $E (X) = 0, 14 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 0, 3 \times 6 = 0, 14 \times 15 + 1, 8 = 2, 1 + 1, 8 =$ $3, 9$ .

1. b) $E (X^{2}) = 0, 14 \times (1 + 4 + 9 + 16 + 25) + 0, 3 \times 36 = 0, 14 \times 55 + 10, 8 = 7, 7 + 10, 8 = 18, 5$ . Donc $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = 18, 5 - 3, 9^{2} = 18, 5 - 15, 21 =$ $3, 29$ .

2. Les lancers sont indépendants et de même loi : inégalité de concentration avec $n = 500$ , $δ = 0, 3$ : $P (| M_{500} - 3, 9 | \geq 0, 3) \leq \frac{3, 29}{500 \times 0, 09} = \frac{3, 29}{45} \approx 0, 073 .$ La moyenne de $500$ lancers est dans $] 3, 6; 4, 2 [$ avec une probabilité d'au moins $0, 927$ .

3. Pour un dé équilibré, $μ_{0} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =$ $3, 5$ et $E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ , donc $V_{0} = \frac{91}{6} - 12, 25 = \frac{91 - 73, 5}{6} = \frac{35}{12} \approx$ $2, 917$ .
L'écart observé est $3, 86 - 3, 5 = 0, 36$ . Sous l'hypothèse « dé équilibré » : $P (| M_{500} - 3, 5 | \geq 0, 36) \leq \frac{35 / 12}{500 \times 0, 36^{2}} = \frac{2, 9167}{64, 8} \approx 0, 045 .$ Avec un dé équilibré, un écart d'au moins $0, 36$ a moins de $4, 5 %$ de chances de se produire. L'observation est donc peu compatible avec l'hypothèse d'un dé équilibré : le joueur est fondé à soupçonner un dé pipé (sans certitude absolue).

4. $r a n d o m ()$ renvoie un réel $u$ uniforme dans $[0; 1 [$ : l'événement $u < 0, 3$ a la probabilité $0, 3$ , et la fonction renvoie alors $6$ . Sinon (probabilité $0, 7$ ), $r a n d i n t (1, 5)$ renvoie l'un des entiers $1$ à $5$ avec la probabilité $\frac{1}{5}$ chacun, indépendamment de $u$ . Chaque face $k \in {1, \dots, 5}$ a donc la probabilité $0, 7 \times \frac{1}{5} =$ $0, 14$ , et la face $6$ la probabilité $0, 3$ : c'est bien la loi du dé pipé.

5. Les lancers simulés sont indépendants et de même loi que $X$ , d'espérance $3, 9$ . D'après la loi faible des grands nombres, pour tout $δ > 0$ , $P (| M_{n} - 3, 9 | \geq δ) \to 0$ : la moyenne se stabilise autour de $3, 9$ , valeur de $E (X)$ , et non autour de $3, 5$ .

Problème 4 — Loterie d'une association

Difficile

Une association vend des tickets de loterie $2$ € pièce. Chaque ticket fait tourner une roue à $10$ secteurs équiprobables : $1$ secteur rapporte $8$ €, $3$ secteurs rapportent $1$ €, les $6$ autres ne rapportent rien. On note $G$ le gain algébrique du joueur pour un ticket (somme reçue moins le prix du ticket). L'association vend $1 500$ tickets à des joueurs indépendants ; $M_{1500}$ désigne le gain algébrique moyen par ticket et $S$ la recette nette de l'association (prix des tickets encaissés moins lots versés).

1. Déterminer la loi de $G$ et montrer que $E (G) = - 0, 9$ .
2. Calculer $V (G)$ .
3. Déterminer $E (M_{1500})$ et $V (M_{1500})$ .
4. Majorer $P (| M_{1500} + 0, 9 | \geq 0, 45)$ .
5. Exprimer $S$ en fonction de $M_{1500}$ , puis montrer que $P (S \leq 675) \leq 0, 0181$ .
6. Écrire une fonction Python $r e c e t t e (n)$ qui simule la recette nette pour $n$ tickets. Quelle valeur approximative de $r e c e t t e (n) / n$ obtient-on pour $n$ très grand ? Justifier.

1. Le joueur paie $2$ € ; il reçoit $8$ € avec la probabilité $\frac{1}{10}$ , $1$ € avec la probabilité $\frac{3}{10}$ , rien avec la probabilité $\frac{6}{10}$ . Donc $G$ prend les valeurs $6$ , $- 1$ , $- 2$ :

$g$	$6$	$- 1$	$- 2$
$P (G = g)$	$0, 1$	$0, 3$	$0, 6$

$E (G) = 6 \times 0, 1 - 1 \times 0, 3 - 2 \times 0, 6 = 0, 6 - 0, 3 - 1, 2 =$ $- 0, 9$ : en moyenne, un joueur perd $0, 90$ € par ticket.

2. $E (G^{2}) = 36 \times 0, 1 + 1 \times 0, 3 + 4 \times 0, 6 = 3, 6 + 0, 3 + 2, 4 = 6, 3$ . $V (G) = 6, 3 - (- 0, 9)^{2} = 6, 3 - 0, 81 =$ $5, 49$ .

3. Les gains des $1 500$ tickets sont indépendants et de même loi que $G$ : $E (M_{1500}) =$ $- 0, 9$ et $V (M_{1500}) = \frac{5, 49}{1 500} =$ $0, 00366$ .

4. Inégalité de concentration avec $δ = 0, 45$ : $P (| M_{1500} + 0, 9 | \geq 0, 45) \leq \frac{0, 00366}{0, 45^{2}} = \frac{0, 00366}{0, 2025} \approx 0, 01807$ , soit $P (| M_{1500} + 0, 9 | \geq 0, 45) \leq 0, 0181$ .

5. La recette nette de l'association est l'opposé de la somme des gains des joueurs : $S = - (G_{1} + \dots + G_{1500}) =$ $- 1 500 M_{1500}$ .
$S \leq 675 ⟺ - 1 500 M_{1500} \leq 675 ⟺ M_{1500} \geq - 0, 45 ⟺ M_{1500} + 0, 9 \geq 0, 45$ . Cet événement est inclus dans « $| M_{1500} + 0, 9 | \geq 0, 45$ », donc $P (S \leq 675) \leq P (| M_{1500} + 0, 9 | \geq 0, 45) \leq 0, 0181$ . La recette nette dépasse $675$ € avec une probabilité d'au moins $0, 98$ (l'espérance de $S$ est $1 500 \times 0, 9 = 1 350$ €).

from random import randint

def gain():
    s = randint(1, 10)
    if s == 1:
        return 6
    if s <= 4:
        return -1
    return -2

def recette(n):
    total = 0
    for k in range(n):
        total = total - gain()
    return total

$r a n d i n t (1, 10)$ choisit un secteur équiprobable : le secteur $1$ (probabilité $0, 1$ ) donne $6$ , les secteurs $2$ à $4$ (probabilité $0, 3$ ) donnent $- 1$ , les six autres donnent $- 2$ . La recette est la somme des opposés des gains. Comme $\frac{recette(n)}{n} = - M_{n}$ et que, par la loi faible des grands nombres, $M_{n}$ se stabilise autour de $E (G) = - 0, 9$ , on obtient pour $n$ très grand une valeur proche de $0, 9$ € par ticket.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs