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Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minoration d’un intervalle, inégalité de concentration pour la moyenne d’un échantillon, loi faible des grands nombres et choix d’une taille d’échantillon.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés dans l’esprit du bac : le contrôle de la longueur de vis, la comparaison entre majorant et valeur exacte pour une loi binomiale avec une fonction Python, un sondage avant une élection et une machine à sous où la loi des grands nombres donne l’avantage au casino.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je nomme la variable d’une observation (longueur, gain, réponse 0 ou 1) et je calcule son espérance μ et sa variance V (écart type au carré, p(1 − p) pour une fréquence).
Je repère la situation : une seule observation (Bienaymé-Tchebychev) ou la moyenne de n observations indépendantes (concentration, avec V/n).
J’écris l’événement sous la forme |… − μ| ≥ δ : contraire pour un intervalle « strictement compris entre », inclusion pour un seul côté.
J’applique l’inégalité en la citant, puis je conclus dans le contexte : « au plus » pour un majorant, « au moins » pour le contraire.
Pour une taille d’échantillon, j’écris V/(nδ²) ≤ α, j’isole n et je prends l’entier supérieur (V = 1/4 si p est inconnu).

Problème 1 · Des vis à contrôler★★★Facile

Une machine fabrique des vis. La longueur

L

d’une vis (en mm) est une variable aléatoire d’espérance

40

et d’écart type

0, 2

. Une vis est conforme si

39, 5 < L < 40, 5

. Écris des valeurs décimales exactes. Utilise l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, puis l’inégalité de concentration.

1. $P (| L - 40 | ⩾ 0, 5) ⩽$
$V (L) = 0, 2^{2} = 0, 04$ . D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, $P (| L - 40 | ⩾ 0, 5) ⩽ \frac{0, 04}{0, 25} = 0, 16$ .
2. Justifier qu’une vis est conforme avec une probabilité d’au moins
Rédaction attendue. L’événement « la vis est conforme » est $39, 5 < L < 40, 5$ , c’est-à-dire $| L - 40 | < 0, 5$ : c’est le contraire de $| L - 40 | ⩾ 0, 5$ . Donc $P (39, 5 < L < 40, 5) = 1 - P (| L - 40 | ⩾ 0, 5) ⩾ 1 - 0, 16 = 0, 84$ . Au moins $84 %$ des vis sont conformes, quelle que soit la loi de $L$ .
3. On prélève $25$ vis, de longueurs indépendantes ; $M_{25}$ est leur longueur moyenne. $V (M_{25}) =$
$V (M_{25}) = \frac{V (L)}{25} = \frac{0, 04}{25} = 0, 0016$ (la moyenne d’un échantillon a une variance divisée par la taille).
4. $P (| M_{25} - 40 | ⩾ 0, 08) ⩽$
D’après l’inégalité de concentration : $\frac{0, 0016}{0, 0064} = 0, 25$ . La moyenne de $25$ vis est donc à moins de $0, 08$ mm de $40$ mm avec une probabilité d’au moins $0, 75$ .
5. Plus petit nombre $n$ de vis tel que $P (| M_{n} - 40 | ⩾ 0, 05) ⩽ 0, 02$ soit garanti : $n =$
Il suffit que $\frac{0, 04}{n \times 0, 0025} ⩽ 0, 02$ , soit $n ⩾ \frac{0, 04}{0, 02 \times 0, 0025} = \frac{0, 04}{0, 00005} = 800$ .

Problème 2 · Majorant et valeur exacte pour une loi binomiale★★★Moyen

S

suit la loi binomiale

ℬ (n; p)

. On compare la probabilité

P (| S - n p | ⩾ \sqrt{n})

au majorant de Bienaymé-Tchebychev. On prend d’abord

n = 100

p = 0, 5

1. $V (S) =$
$V (S) = n p (1 - p) = 100 \times 0, 5 \times 0, 5 = 25$ ; et $E (S) = 50$ , $\sqrt{n} = 10$ .
2. Démontrer que, pour tous $n$ et $p$ , l’inégalité donne $P (| S - n p | ⩾ \sqrt{n}) ⩽ p (1 - p)$ . Ici, ce majorant vaut
Rédaction attendue. $S$ a pour espérance $n p$ et pour variance $n p (1 - p)$ . D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $δ = \sqrt{n} > 0$ : $P (| S - n p | ⩾ \sqrt{n}) ⩽ \frac{n p (1 - p)}{(\sqrt{n})^{2}} = \frac{n p (1 - p)}{n} = p (1 - p)$ . Pour $p = 0, 5$ : $0, 5 \times 0, 5 = 0, 25$ .
3. À la calculatrice, $P (| S - 50 | ⩾ 10) \approx$ (arrondi au millième)
|S−50|⩾10⟺S⩽40 ou S⩾60. P(S⩽40)+P(S⩾60)≈0,0569, soit 0,057 : environ quatre fois moins que le majorant. Cette fonction Python fait le même calcul :
```
from math import comb

def proba_ecart(n, p):
    t = 0
    for k in range(n + 1):
        e = abs(k - n*p)
        b = comb(n, k) * p**k
        b = b * (1 - p)**(n - k)
        if e >= n**0.5:
            t = t + b
    return t
```
proba_ecart(100, 0.5) renvoie environ 0,0569.
4. Pour $n = 100$ et $p = 0, 1$ , le majorant vaut
$p (1 - p) = 0, 1 \times 0, 9 = 0, 09$ . La valeur exacte, $P (S = 0) + P (S ⩾ 20)$ , vaut environ $0, 002$ (proba_ecart(100, 0.1)) : le majorant est environ $45$ fois trop grand. L’inégalité est valable pour toutes les lois, donc grossière pour une loi précise. Le programme officiel propose aussi l’écart strict $| S_{n} - p n | > \sqrt{n}$ : il suffit de remplacer >= par > dans la fonction ; pour $n = 100$ et $p = 0, 5$ , on obtient alors environ $0, 035$ .

Problème 3 · Un sondage avant une élection★★★Moyen

Un institut interroge

1 500

électeurs choisis au hasard, de façon indépendante. On note

p

la proportion d’électeurs favorables à une mesure et

F

la fréquence des favorables dans l’échantillon.

1. Si l’on avait $p = 0, 46$ , la variance d’une réponse (loi de Bernoulli) vaudrait
$V = p (1 - p) = 0, 46 \times 0, 54 = 0, 2484$ , un peu moins que $\frac{1}{4}$ .
2. $p$ est inconnu. Majorer $P (| F - p | ⩾ 0, 03)$ : au plus (arrondi au millième par excès)
$V = p (1 - p) ⩽ \frac{1}{4}$ . D’après l’inégalité de concentration : $P (| F - p | ⩾ 0, 03) ⩽ \frac{p (1 - p)}{1 500 \times 0, 0009} ⩽ \frac{0, 25}{1, 35} = \frac{5}{27} \approx 0, 1852$ , soit au plus $0, 186$ .
3. Justifier que l’intervalle $] F - 0, 03; F + 0, 03 [$ contient $p$ avec une probabilité d’au moins (arrondi au millième par défaut)
Rédaction attendue. $p$ appartient à $] F - 0, 03; F + 0, 03 [$ si et seulement si $F - 0, 03 < p < F + 0, 03$ , c’est-à-dire $| F - p | < 0, 03$ . C’est le contraire de $| F - p | ⩾ 0, 03$ , donc sa probabilité est au moins $1 - \frac{5}{27} = \frac{22}{27} \approx 0, 8148$ . L’intervalle contient $p$ avec une probabilité d’au moins $0, 814$ , quelle que soit la valeur de $p$ .
4. Combien d’électeurs faudrait-il interroger pour garantir ce même écart de $0, 03$ avec un risque de $0, 05$ ? $n =$
Il suffit que $\frac{0, 25}{n \times 0, 0009} ⩽ 0, 05$ , soit $n ⩾ \frac{0, 25}{0, 05 \times 0, 0009} = \frac{0, 25}{0, 000045} \approx 5 555, 6$ . L’entier supérieur est $5 556$ .

Problème 4 · Le casino gagne à la fin★★★Difficile

À une machine à sous, le gain

G

d’une partie (en €, mise déduite) vaut

- 1

avec la probabilité

0, 7

1

avec la probabilité

0, 2

4

avec la probabilité

0, 1

. Les parties sont indépendantes ;

M_{n}

est le gain moyen par partie sur

n

parties.

1. $E (G) =$
$E (G) = - 1 \times 0, 7 + 1 \times 0, 2 + 4 \times 0, 1 = - 0, 7 + 0, 2 + 0, 4 = - 0, 1$ .
2. $V (G) =$
$E (G^{2}) = 1 \times 0, 7 + 1 \times 0, 2 + 16 \times 0, 1 = 2, 5$ , donc $V (G) = E (G^{2}) - E (G)^{2} = 2, 5 - 0, 01 = 2, 49$ .
3. Justifier, avec la loi faible des grands nombres, que le joueur perd à long terme : $lim_{n \to + \infty} P (| M_{n} + 0, 1 | ⩾ 0, 05) =$
Rédaction attendue. $M_{n}$ est la moyenne d’un échantillon de taille $n$ de la loi de $G$ , d’espérance $- 0, 1$ . D’après la loi faible des grands nombres, pour tout $δ > 0$ , $P (| M_{n} - (- 0, 1) | ⩾ δ) \to 0$ ; avec $δ = 0, 05$ , la limite vaut $0$ . Le gain moyen par partie se rapproche donc de $- 0, 1$ € : sur un grand nombre de parties, le joueur perd environ $0, 10$ € par partie et la machine gagne.
4. Démontrer que $P (M_{n} ⩾ 0) ⩽ \frac{249}{n}$ . Pour $n = 10 000$ parties, $P (M_{10 000} ⩾ 0) ⩽$
Rédaction attendue. Si $M_{n} ⩾ 0$ , alors $M_{n} + 0, 1 ⩾ 0, 1$ , donc $| M_{n} + 0, 1 | ⩾ 0, 1$ : l’événement $M_{n} ⩾ 0$ est contenu dans $| M_{n} - (- 0, 1) | ⩾ 0, 1$ . D’après l’inégalité de concentration, $P (M_{n} ⩾ 0) ⩽ \frac{2, 49}{n \times 0, 01} = \frac{249}{n}$ . Pour $n = 10 000$ : $\frac{249}{10 000} = 0, 0249$ . Après $10 000$ parties, le joueur n’a pas perdu avec une probabilité d’au plus $2, 49 %$ .
5. Plus petit nombre de parties $n$ pour lequel ce majorant est inférieur ou égal à $0, 01$ : $n =$
$\frac{249}{n} ⩽ 0, 01 ⟺ n ⩾ 24 900$ .

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