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Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minoration d’un intervalle, inégalité de concentration pour la moyenne d’un échantillon, loi faible des grands nombres et choix d’une taille d’échantillon.

À propos de cette page
Un QCM sur l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, l’inégalité de concentration et la loi faible des grands nombres, en trois niveaux de douze questions : énoncés, calculs de majorants, tailles d’échantillon, hypothèse d’indépendance et fausse compensation. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Pour une variable aléatoire X d’espérance μ et un réel δ > 0, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev s’écrit :

    • A. P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ²
    • B. P(|X − μ| ≥ δ) ≤ δ²/V(X)
    • C. P(|X − μ| ≤ δ) ≤ V(X)/δ²
    • D. P(|X − μ| ≥ δ) ≥ V(X)/δ²
    Réponse

    A. P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X)/δ² — L’écart à l’espérance est pris en valeur absolue avec une inégalité large, et le majorant est la variance divisée par δ².

  2. La loi faible des grands nombres affirme que, pour tout δ > 0, P(|Mₙ − μ| ≥ δ) a pour limite :

    • A. 1
    • B. μ
    • C. 0
    • D. V
    Réponse

    C. 0 — La probabilité d’un écart d’au moins δ entre la moyenne et l’espérance tend vers 0 quand n tend vers +∞.

  3. E(X) = 26 et V(X) = 20. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|X − 26| ≥ 9) ≤ :

    • A. 20/9
    • B. 9/20
    • C. 20/81
    • D. 26/81
    Réponse

    C. 20/81 — Le majorant est V(X)/δ² = 20/9² = 20/81, soit environ 0,247.

  4. Pour une variable d’écart type σ, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|X − μ| ≥ 6σ) ≤ :

    • A. 1/6
    • B. 1/36
    • C. 6
    • D. 1/12
    Réponse

    B. 1/36 — Avec δ = kσ, le majorant est σ²/(k²σ²) = 1/k², ici 1/36.

  5. Pour la moyenne Mₙ d’un échantillon de taille n, l’inégalité de concentration donne P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ :

    • A. V/δ²
    • B. nV/δ²
    • C. V/(nδ²)
    • D. V/(n²δ²)
    Réponse

    C. V/(nδ²) — C’est Bienaymé-Tchebychev appliquée à Mₙ, dont la variance est V/n.

  6. L’événement contraire de « |X − 21| ≥ 4,5 » est :

    • A. 16,5 < X < 25,5
    • B. X ≤ 16,5 ou X ≥ 25,5
    • C. 16,5 ≤ X ≤ 25,5
    • D. X < 16,5
    Réponse

    A. 16,5 < X < 25,5 — |X − 21| ≥ 4,5 signifie X ≤ 16,5 ou X ≥ 25,5 ; son contraire est |X − 21| < 4,5, avec des inégalités strictes.

  7. À δ fixé, si l’on double la taille n de l’échantillon, le majorant V/(nδ²) est :

    • A. doublé
    • B. divisé par 4
    • C. inchangé
    • D. divisé par 2
    Réponse

    D. divisé par 2 — Le majorant est inversement proportionnel à n : doubler n le divise par 2.

  8. Pour une fréquence (observations de Bernoulli de paramètre p), la variance V utilisée dans l’inégalité de concentration est :

    • A. p
    • B. p(1 − p)
    • C. p²
    • D. 1 − p
    Réponse

    B. p(1 − p) — Une variable de Bernoulli de paramètre p a pour variance p(1 − p) ; p est son espérance.

  9. Pour la probabilité P(|X − μ| ≥ δ), l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit :

    • A. sa valeur exacte
    • B. une valeur approchée
    • C. un majorant
    • D. un minorant
    Réponse

    C. un majorant — Elle dit « la probabilité est au plus… » : c’est un majorant, valable pour toutes les lois, souvent grossier.

  10. On lance un très grand nombre de fois une pièce équilibrée. La fréquence de face se rapproche de :

    • A. 0,5
    • B. 1
    • C. 0
    • D. 0,25
    Réponse

    A. 0,5 — D’après la loi des grands nombres, la fréquence se stabilise autour de la probabilité de face, 0,5.

  11. Si δ ≤ σ, le majorant V(X)/δ² de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est :

    • A. égal à 0, car δ est petit
    • B. supérieur ou égal à 1
    • C. strictement négatif
    • D. égal à l’écart type σ
    Réponse

    B. supérieur ou égal à 1 — δ ≤ σ donne δ² ≤ σ² = V(X), donc V(X)/δ² ≥ 1 : l’inégalité est vraie mais n’apprend rien.

  12. Pour garantir P(|Mₙ − μ| ≥ δ) ≤ α avec l’inégalité de concentration, il suffit que :

    • A. n ≤ V/(αδ²)
    • B. n ≥ αδ²/V
    • C. n ≥ V/(αδ)
    • D. n ≥ V/(αδ²)
    Réponse

    D. n ≥ V/(αδ²) — V/(nδ²) ≤ α équivaut à n ≥ V/(αδ²) : plus on veut de précision ou moins de risque, plus n est grand.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. X suit la loi B(120 ; 0,35). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|X − 42| ≥ 13) ≤ :

    • A. 27,3/13
    • B. 42/169
    • C. 27,3/144
    • D. 27,3/169
    Réponse

    D. 27,3/169 — E(X) = 42 et V(X) = 120 × 0,35 × 0,65 = 27,3 ; le majorant est 27,3/13² = 27,3/169, environ 0,16.

  2. Un échantillon de taille 150 d’une variable d’espérance 8 et de variance 3,6 a pour moyenne M₁₅₀. Alors P(|M₁₅₀ − 8| ≥ 0,6) ≤ :

    • A. 1/25
    • B. 10
    • C. 1/15
    • D. 1/150
    Réponse

    C. 1/15 — 3,6/(150 × 0,36) = 3,6/54 = 1/15. Oublier n donne 10, oublier le carré de δ donne 1/25.

  3. Une variable de Bernoulli de paramètre 0,65 est observée n fois. Quelle taille minimale n garantit P(|Fₙ − 0,65| ≥ 0,06) ≤ 0,08 ?

    • A. 79
    • B. 395
    • C. 7 900
    • D. 790
    Réponse

    D. 790 — V = 0,65 × 0,35 = 0,2275 et n ≥ 0,2275/(0,08 × 0,0036) ≈ 789,9 : l’entier supérieur est 790.

  4. X a pour espérance 100 et pour écart type 12. Alors P(|X − 100| ≥ 40) ≤ :

    • A. 0,3
    • B. 0,09
    • C. 0,0075
    • D. 0,91
    Réponse

    B. 0,09 — Il faut la variance 12² = 144 : 144/1 600 = 0,09. Diviser 12 par 40 est l’erreur classique.

  5. Pour une variable de variance 3, la plus petite taille n garantissant P(|Mₙ − μ| ≥ 0,5) ≤ 0,02 est :

    • A. 300
    • B. 600
    • C. 60
    • D. 1 200
    Réponse

    B. 600 — n ≥ 3/(0,02 × 0,25) = 3/0,005 = 600. Avec δ au lieu de δ², on trouverait 300.

  6. X suit la loi B(200 ; 0,1). Quelle affirmation découle de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

    • A. P(X ≤ 8 ou X ≥ 32) ≥ 0,125
    • B. P(X ≤ 8 ou X ≥ 32) ≤ 0,125
    • C. P(9 ≤ X ≤ 31) ≤ 0,875
    • D. P(X ≤ 8 ou X ≥ 32) = 0,125
    Réponse

    B. P(X ≤ 8 ou X ≥ 32) ≤ 0,125 — E(X) = 20, V(X) = 18 ; l’événement est |X − 20| ≥ 12 et 18/144 = 0,125 est un majorant, pas une valeur exacte.

  7. On lance 100 fois une pièce équilibrée ; F₁₀₀ est la fréquence de pile. L’inégalité de concentration donne P(|F₁₀₀ − 0,5| ≥ 0,1) ≤ :

    • A. 0,025
    • B. 25
    • C. 0,25
    • D. 0,1
    Réponse

    C. 0,25 — V = 0,25 et 0,25/(100 × 0,01) = 0,25. Oublier n donne 25, oublier le carré de δ donne 0,025.

  8. Proportion p inconnue. Quelle est la plus petite taille n garantissant P(|Fₙ − p| ≥ 0,04) ≤ 0,05 ?

    • A. 3 125
    • B. 125
    • C. 31 250
    • D. 625
    Réponse

    A. 3 125 — On majore V par 1/4 : n ≥ 0,25/(0,05 × 0,0016) = 0,25/0,00008 = 3 125.

  9. E(X) = 60 et V(X) = 25. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d’affirmer que P(50 < X < 70) est :

    • A. au plus égale à 0,25
    • B. au moins égale à 0,75
    • C. au plus égale à 0,75
    • D. exactement égale à 0,75
    Réponse

    B. au moins égale à 0,75 — 50 < X < 70 est le contraire de |X − 60| ≥ 10, de probabilité au plus 25/100 = 0,25 : donc P(50 < X < 70) ≥ 0,75.

  10. E(X) = 12 et V(X) = 4. Quel majorant de P(X ≥ 18) l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle ?

    • A. 1/18
    • B. 4/18
    • C. 1/3
    • D. 1/9
    Réponse

    D. 1/9 — X ≥ 18 entraîne |X − 12| ≥ 6, donc P(X ≥ 18) ≤ 4/36 = 1/9. Diviser par 2 « par symétrie » n’est pas permis : la loi n’est pas connue.

  11. Proportion inconnue, n = 400 personnes, risque α = 0,1. La plus petite précision δ garantie vaut environ :

    • A. 0,079
    • B. 0,0063
    • C. 0,025
    • D. 0,25
    Réponse

    A. 0,079 — δ² = 0,25/(400 × 0,1) = 0,00625, donc δ = √0,00625 ≈ 0,079. 0,0063 est δ², pas δ.

  12. Quel minorant de P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle ?

    • A. 1/9
    • B. 8/9
    • C. 0,9
    • D. 26/27
    Réponse

    B. 8/9 — P(|X − μ| ≥ 3σ) ≤ 1/9, donc l’événement contraire a une probabilité d’au moins 1 − 1/9 = 8/9.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Pour une certaine valeur de δ, on trouve V(X)/δ² = 1,3. Que peut-on conclure ?

    • A. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est fausse pour ce δ
    • B. P(|X − μ| ≥ δ) = 1 : l’écart est alors certain
    • C. Rien de plus que P ≤ 1 : le majorant est inutile
    • D. La valeur de δ choisie n’est pas autorisée ici
    Réponse

    C. Rien de plus que P ≤ 1 : le majorant est inutile — L’inégalité reste vraie (une probabilité est toujours inférieure à 1,3) mais n’apporte rien : cela se produit dès que δ ≤ σ.

  2. Quelle hypothèse est indispensable pour appliquer l’inégalité de concentration à Mₙ ?

    • A. Les Xᵢ suivent toutes une même loi binomiale
    • B. La taille n de l’échantillon dépasse 30
    • C. Les Xᵢ sont indépendantes et de même loi
    • D. L’espérance μ des Xᵢ est égale à zéro
    Réponse

    C. Les Xᵢ sont indépendantes et de même loi — Sans indépendance, V(Mₙ) n’est plus égale à V/n ; la loi précise des Xᵢ n’a pas d’importance.

  3. On pose X₁ = X₂ = … = Xₙ (la même variable répétée), avec V(X₁) > 0. Alors Mₙ = X₁ ne se rapproche pas de μ. Ce contre-exemple montre que la loi des grands nombres exige :

    • A. une espérance strictement positive
    • B. l’indépendance des variables
    • C. une variance nulle
    • D. une taille n plus grande
    Réponse

    B. l’indépendance des variables — Les variables ont bien la même loi, mais ne sont pas indépendantes : V(Mₙ) = V(X₁) ne diminue pas avec n.

  4. Une pièce équilibrée vient de donner sept piles de suite. Que dit la loi des grands nombres sur le lancer suivant ?

    • A. Face est devenue plus probable, pour compenser
    • B. La fréquence revient à 0,5 dès les lancers suivants
    • C. Rien : pile garde la probabilité 0,5
    • D. La pièce est forcément truquée
    Réponse

    C. Rien : pile garde la probabilité 0,5 — Les lancers sont indépendants : le passé n’influence pas le suivant. La loi porte sur la fréquence à long terme, pas sur un lancer donné.

  5. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne P(|X − μ| ≥ δ) ≤ 0,28 et un calcul exact donne P(|X − μ| ≥ δ) = 0,06. Alors :

    • A. il y a une erreur : les deux valeurs devraient coïncider
    • B. il n’y a pas de contradiction : 0,06 ≤ 0,28
    • C. l’inégalité est fausse pour cette variable
    • D. le calcul exact est forcément faux
    Réponse

    B. il n’y a pas de contradiction : 0,06 ≤ 0,28 — L’inégalité fournit un majorant valable pour toutes les lois de même espérance et variance ; la valeur exacte lui est souvent très inférieure.

  6. À δ fixé, pour diviser par 10 le majorant de l’inégalité de concentration, il faut :

    • A. multiplier n par 100
    • B. diviser δ par 10
    • C. multiplier n par √10
    • D. multiplier n par 10
    Réponse

    D. multiplier n par 10 — Le majorant V/(nδ²) est inversement proportionnel à n. Diviser δ par 10 le multiplierait par 100.

  7. Pour une variable de Bernoulli de paramètre p, la variance p(1 − p) est maximale pour :

    • A. p = 0
    • B. p = 1
    • C. p = 0,5
    • D. p = 0,25
    Réponse

    C. p = 0,5 — p(1 − p) = 1/4 − (p − 1/2)² est maximal pour p = 1/2 : c’est pourquoi on majore la variance d’une proportion inconnue par 1/4.

  8. À risque α fixé, pour diviser par 2 la précision δ garantie par l’inégalité de concentration, il faut multiplier n par :

    • A. 2
    • B. 4
    • C. √2
    • D. 8
    Réponse

    B. 4 — δ = √(V/(nα)) : diviser δ par 2 demande de multiplier n par 2² = 4.

  9. E(X) = 20 et V(X) = 5. Quel majorant de P(X ≥ 30) l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à |X − 20| ≥ 10, fournit-elle ?

    • A. 0,025
    • B. 0,5
    • C. 0,05
    • D. 0,95
    Réponse

    C. 0,05 — X ≥ 30 est contenu dans |X − 20| ≥ 10, donc P(X ≥ 30) ≤ 5/100 = 0,05. Diviser par 2 supposerait une loi symétrique, inconnue ici.

  10. X est à valeurs entières et E(X) = 10. L’événement 6 < X < 14 est égal à :

    • A. |X − 10| < 3
    • B. |X − 10| ≤ 3
    • C. |X − 10| ≤ 4
    • D. |X − 10| ≥ 4
    Réponse

    B. |X − 10| ≤ 3 — Pour des entiers, 6 < X < 14 signifie 7 ≤ X ≤ 13, c’est-à-dire |X − 10| ≤ 3. |X − 10| < 3 exclurait 7 et 13.

  11. Fₙ est la fréquence de pile sur n lancers d’une pièce équilibrée. Que dit la loi faible des grands nombres ?

    • A. Fₙ devient égale à 0,5 dès que n est assez grand
    • B. L’écart entre le nombre de piles et n/2 tend vers 0
    • C. Fₙ est toujours dans ]0,45 ; 0,55[ dès que n ≥ 500
    • D. Pour tout δ > 0, P(|Fₙ − 0,5| ≥ δ) tend vers 0
    Réponse

    D. Pour tout δ > 0, P(|Fₙ − 0,5| ≥ δ) tend vers 0 — La loi porte sur la probabilité d’un écart de la fréquence, qui tend vers 0 ; la fréquence reste aléatoire et l’écart en nombre de piles peut grandir.

  12. Pour n = 100, l’inégalité de concentration donne un majorant de 0,6. Pour n = 300 et le même δ, elle donne :

    • A. 0,2
    • B. 1,8
    • C. 0,6/√3 ≈ 0,35
    • D. 0,6/9 ≈ 0,067
    Réponse

    A. 0,2 — Le majorant V/(nδ²) est inversement proportionnel à n : multiplier n par 3 le divise par 3, d’où 0,2.

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