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Concentration et loi des grands nombres

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration, loi faible des grands nombres et échantillonnage (programme de Terminale spécialité maths)

À propos de cette page

Ce QCM sur « Concentration et loi des grands nombres » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : L'essentiel, L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, Moyenne d'un échantillon et inégalité de concentration, La loi faible des grands nombres. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 24 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 8 questions

Pour une variable aléatoire $X$ et un réel $δ > 0$ , l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'écrit :
- A. $P (| X - E (X) | \geq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}}$
- B. $P (| X - E (X) | \geq δ) \leq \frac{δ^{2}}{V (X)}$
- C. $P (| X - E (X) | \leq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}}$
- D. $P (| X - E (X) | \geq δ) \geq \frac{V (X)}{δ^{2}}$
Réponse
A. $P (| X - E (X) | \geq δ) \leq \frac{V (X)}{δ^{2}}$ — L'écart à l'espérance est pris en valeur absolue avec une inégalité large, et le majorant est la variance divisée par $δ^{2}$ .
Si $(X_{1}, \dots, X_{n})$ est un échantillon d'une variable de variance $V$ , la variance de la moyenne $M_{n}$ vaut :
- A. $n V$
- B. $\frac{V}{n}$
- C. $\frac{V}{n^{2}}$
- D. $V$
Réponse
B. $\frac{V}{n}$ — $V (M_{n}) = \frac{1}{n^{2}} V (X_{1} + \dots + X_{n}) = \frac{n V}{n^{2}} = \frac{V}{n}$ , grâce à l'indépendance.
La loi faible des grands nombres affirme que, pour tout $δ > 0$ , $P (| M_{n} - μ | \geq δ)$ a pour limite :
- A. $1$
- B. $μ$
- C. $0$
- D. $V$
Réponse
C. $0$ — La probabilité d'un écart d'au moins $δ$ entre la moyenne et l'espérance tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+ \infty$ .
$E (X) = 26$ et $V (X) = 20$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (| X - 26 | \geq 9) \leq$
- A. $\approx 0, 111$
- B. $\approx 0, 494$
- C. $\approx 0, 049$
- D. $\approx 0, 247$
Réponse
D. $\approx 0, 247$ — $\frac{20}{9^{2}} = \frac{20}{81} \approx 0, 247$ .
Pour une variable d'écart-type $σ$ , l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (| X - μ | \geq 6 σ) \leq$
- A. $\frac{1}{6}$
- B. $\frac{1}{36}$
- C. $6$
- D. $\frac{1}{12}$
Réponse
B. $\frac{1}{36}$ — Avec $δ = k σ$ , le majorant est $\frac{σ^{2}}{k^{2} σ^{2}} = \frac{1}{k^{2}} = \frac{1}{36}$ .
L'inégalité de concentration donne $P (| M_{n} - μ | \geq δ) \leq$
- A. $\frac{V}{δ^{2}}$
- B. $\frac{n V}{δ^{2}}$
- C. $\frac{V}{n δ^{2}}$
- D. $\frac{V}{n^{2} δ^{2}}$
Réponse
C. $\frac{V}{n δ^{2}}$ — C'est Bienaymé-Tchebychev appliquée à $M_{n}$ , dont la variance est $\frac{V}{n}$ .
L'événement contraire de « $| X - 21 | \geq 4, 5$ » est :
- A. $16, 5 < X < 25, 5$
- B. $X \leq 16, 5$ ou $X \geq 25, 5$
- C. $16, 5 \leq X \leq 25, 5$
- D. $X < 16, 5$
Réponse
A. $16, 5 < X < 25, 5$ — $| X - 21 | \geq 4, 5$ signifie $X \leq 16, 5$ ou $X \geq 25, 5$ ; son contraire est $| X - 21 | < 4, 5$ , avec des inégalités strictes.
À $δ$ fixé, si l'on double la taille $n$ de l'échantillon, le majorant $\frac{V}{n δ^{2}}$ est :
- A. doublé
- B. divisé par $4$
- C. inchangé
- D. divisé par $2$
Réponse
D. divisé par $2$ — Le majorant est inversement proportionnel à $n$ : doubler $n$ le divise par $2$ .

Niveau moyen — 8 questions

$X$ suit la loi $ℬ (120; 0, 35)$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (| X - 42 | \geq 13) \leq$
- A. $\approx 0, 32$
- B. $\approx 0, 08$
- C. $\approx 0, 16$
- D. $\approx 0, 64$
Réponse
C. $\approx 0, 16$ — $E (X) = 42$ , $V (X) = 120 \times 0, 35 \times 0, 65 = 27, 3$ et $\frac{27, 3}{169} \approx 0, 16$ .
Un échantillon de taille $150$ d'une variable d'espérance $8$ et de variance $3, 6$ a pour moyenne $M_{150}$ . Alors $P (| M_{150} - 8 | \geq 0, 6) \leq$
- A. $\approx 0, 067$
- B. $\approx 0, 111$
- C. $\approx 0, 167$
- D. $\approx 0, 042$
Réponse
A. $\approx 0, 067$ — $\frac{3, 6}{150 \times 0, 36} = \frac{3, 6}{54} \approx 0, 067$ .
Une variable de Bernoulli de paramètre $0, 65$ est observée $n$ fois. Quelle taille minimale $n$ garantit $P (| F_{n} - 0, 65 | \geq 0, 06) \leq 0, 08$ ?
- A. $79$
- B. $395$
- C. $7 900$
- D. $790$
Réponse
D. $790$ — $V = 0, 65 \times 0, 35 = 0, 2275$ et $n \geq \frac{0, 2275}{0, 08 \times 0, 0036} \approx 789, 9$ , soit $n = 790$ .
$X$ a pour espérance $100$ et pour écart-type $12$ . Alors $P (| X - 100 | \geq 30) \leq$
- A. $0, 4$
- B. $0, 16$
- C. $0, 04$
- D. $0, 6$
Réponse
B. $0, 16$ — Il faut la variance $12^{2} = 144$ : $\frac{144}{900} = 0, 16$ . Utiliser $12$ au lieu de $144$ est l'erreur classique.
Un échantillon de taille $250$ d'une variable d'espérance $16$ et de variance $5$ a pour moyenne $M_{250}$ . L'écart-type de $M_{250}$ vaut environ :
- A. $0, 141$
- B. $0, 02$
- C. $0, 089$
- D. $1, 41$
Réponse
A. $0, 141$ — $V (M_{250}) = \frac{5}{250} = 0, 02$ , donc $σ (M_{250}) = \sqrt{0, 02} \approx 0, 141$ .
Pour une variable de variance $2$ , la taille $n$ minimale garantissant $P (| M_{n} - μ | \geq 0, 5) \leq 0, 01$ est :
- A. $80$
- B. $400$
- C. $8 000$
- D. $800$
Réponse
D. $800$ — $n \geq \frac{2}{0, 01 \times 0, 25} = 800$ .
$X$ suit la loi $ℬ (200; 0, 1)$ . Quelle affirmation est correcte ?
- A. $P (X \leq 8 ou X \geq 32) \leq 0, 25$
- B. $P (X \leq 8 ou X \geq 32) \leq 0, 125$
- C. $P (X \leq 8 ou X \geq 32) \geq 0, 125$
- D. $P (X \leq 8 ou X \geq 32) \leq 0, 0625$
Réponse
B. $P (X \leq 8 ou X \geq 32) \leq 0, 125$ — $E (X) = 20$ , $V (X) = 18$ ; l'événement est $| X - 20 | \geq 12$ et $\frac{18}{144} = 0, 125$ .
On lance $100$ fois une pièce équilibrée ; $F_{100}$ est la fréquence de pile. L'inégalité de concentration donne $P (| F_{100} - 0, 5 | \geq 0, 1) \leq$
- A. $0, 025$
- B. $0, 5$
- C. $0, 25$
- D. $0, 1$
Réponse
C. $0, 25$ — $V = 0, 25$ et $\frac{0, 25}{100 \times 0, 01} = 0, 25$ .

Niveau difficile — 8 questions

Pour une certaine valeur de $δ$ , on trouve $\frac{V (X)}{δ^{2}} = 1, 3$ . Que peut-on conclure ?
- A. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est fausse pour ce $δ$
- B. $P (| X - μ | \geq δ) = 1$ , l'écart est certain
- C. Rien de plus que $P \leq 1$ : le majorant est inutile
- D. La valeur de $δ$ choisie n'est pas autorisée
Réponse
C. Rien de plus que $P \leq 1$ : le majorant est inutile — L'inégalité reste vraie (une probabilité est toujours $\leq 1, 3$ ) mais n'apporte rien : cela se produit dès que $δ \leq σ$ .
Quelle hypothèse est indispensable pour appliquer l'inégalité de concentration à $M_{n}$ ?
- A. Les $X_{i}$ sont indépendantes et de même loi
- B. Les $X_{i}$ suivent une loi binomiale
- C. La taille $n$ est supérieure à $30$
- D. L'espérance $μ$ est nulle
Réponse
A. Les $X_{i}$ sont indépendantes et de même loi — Sans indépendance, $V (M_{n})$ n'est plus égale à $\frac{V}{n}$ ; la loi précise des $X_{i}$ n'a pas d'importance.
On pose $X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n}$ (la même variable répétée), avec $V (X_{1}) > 0$ . Alors $M_{n} = X_{1}$ ne se rapproche pas de $μ$ . Ce contre-exemple montre que la loi des grands nombres exige :
- A. l'indépendance des variables
- B. une variance nulle
- C. une espérance strictement positive
- D. une taille $n$ plus grande
Réponse
A. l'indépendance des variables — Les variables ont bien la même loi, mais ne sont pas indépendantes : $V (M_{n}) = V (X_{1})$ ne diminue pas avec $n$ .
Une pièce équilibrée vient de donner sept piles de suite. Que dit la loi des grands nombres sur le lancer suivant ?
- A. Face est maintenant plus probable, pour compenser
- B. La fréquence doit revenir à $0, 5$ dès les prochains lancers
- C. Rien : pile garde la probabilité $0, 5$ , la loi porte sur la fréquence à long terme
- D. La pièce est nécessairement truquée
Réponse
C. Rien : pile garde la probabilité $0, 5$ , la loi porte sur la fréquence à long terme — Les lancers sont indépendants : le passé n'influence pas le suivant. La loi des grands nombres concerne la limite de la fréquence, pas un tirage donné.
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne $P (| X - μ | \geq δ) \leq 0, 28$ et un calcul exact donne $P (| X - μ | \geq δ) = 0, 06$ . Alors :
- A. il y a une erreur : les deux valeurs devraient coïncider
- B. il n'y a pas de contradiction : $0, 06 \leq 0, 28$ , l'inégalité n'est qu'une majoration
- C. l'inégalité est fausse pour cette variable
- D. le calcul exact est nécessairement faux
Réponse
B. il n'y a pas de contradiction : $0, 06 \leq 0, 28$ , l'inégalité n'est qu'une majoration — L'inégalité fournit un majorant valable pour toutes les lois de même espérance et variance ; la valeur exacte lui est souvent très inférieure.
Soit $M_{n}$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable d'écart-type $σ$ . Quelle affirmation est vraie ?
- A. $σ (M_{n}) = \frac{σ}{n}$
- B. $σ (M_{n}) = n σ$
- C. $σ (M_{n}) = σ$
- D. $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$
Réponse
D. $σ (M_{n}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ — $V (M_{n}) = \frac{σ^{2}}{n}$ , donc $σ (M_{n}) = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n}} = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ . Diviser l'écart-type par $n$ est l'erreur fréquente.
À $δ$ fixé, pour diviser par $10$ le majorant de l'inégalité de concentration, il faut :
- A. multiplier $n$ par $100$
- B. multiplier $n$ par $10$
- C. multiplier $n$ par $\sqrt{10}$
- D. diviser $δ$ par $10$
Réponse
B. multiplier $n$ par $10$ — Le majorant $\frac{V}{n δ^{2}}$ est inversement proportionnel à $n$ . Diviser $δ$ par $10$ le multiplierait par $100$ .
Pour $X$ suivant $ℬ (n; p)$ avec $n$ fixé, la variance $n p (1 - p)$ est maximale lorsque $p$ vaut :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $0, 25$
- D. $0, 5$
Réponse
D. $0, 5$ — $p (1 - p) = \frac{1}{4} - {(p - \frac{1}{2})}^{2}$ est maximal pour $p = \frac{1}{2}$ . C'est pourquoi on majore la variance d'une proportion inconnue par $\frac{n}{4}$ .

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