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Fiche de révision : matrice inverse et systèmes

Matrice inversible et propriétés de l’inverse, déterminant et inverse d’une matrice 2 × 2, inverse d’une matrice d’ordre 3 par le pivot, écriture matricielle AX = B et résolution des systèmes linéaires, y compris sans solution ou avec une infinité de solutions.

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Matrice inverse et systèmes

Fiche méthode

(Maths expertes Terminale · Graphes et matrices)

La démarche pour inverser une matrice ou résoudre un système

1. Je vérifie que la matrice est carrée : seule une matrice carrée peut être inversible.

2. Je décide de l’inversibilité : déterminant pour une matrice 2 × 2, pivot pour une matrice d’ordre 3, relation matricielle si l’énoncé en donne une.

3. Je calcule $A^{- 1}$ , puis, pour un système, $X = A^{- 1} B$ avec le produit à gauche.

4. Je contrôle un coefficient de $A A^{- 1}$ , ou la solution dans une équation, et je conclus par une phrase.

Le réflexe — le calcul de

A^{- 1}

ne vaut rien sans le contrôle : un coefficient de

A A^{- 1}

suffit à repérer une erreur de signe.

Cas 1 · Prouver qu’une matrice est inversible

Réflexe — un seul produit AB = Iₙ suffit ; une relation A² + pA + qIₙ = O (q ≠ 0) donne A⁻¹ en factorisant par A.

Exemple. Questions types : « Montrer que $B$ est l’inverse de $A$ », « Montrer que $A^{2} = 2 A + 3 I_{2}$ ; en déduire que $A$ est inversible et donner $A^{- 1}$ ». Exemple : $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ .

$A^{2}$ $= (\begin{matrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix})$ et $2 A + 3 I_{2}$ $= (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{matrix})$ : la relation est vraie.

Elle s’écrit $A^{2} - 2 A = 3 I_{2}$ , soit $A (A - 2 I_{2}) = 3 I_{2}$ , donc $A \times \frac{1}{3} (A - 2 I_{2}) = I_{2}$ .

$A$ est inversible et $A^{- 1}$ $= \frac{1}{3} (A - 2 I_{2})$ $= \frac{1}{3} (\begin{matrix} - 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix})$ .

Attention — on factorise par A en gardant I₂ : A² − 2A = A(A − 2I₂), et non A(A − 2).

Cas 2 · Inverser une matrice 2 × 2

Réflexe — det(A) = ad − bc ; s’il est non nul : diagonale échangée, autres coefficients changés de signe, le tout divisé par det(A).

Exemple. Questions types : « Montrer que $D$ est inversible et calculer $D^{- 1}$ », « Pour quelles valeurs de $k$ la matrice est-elle inversible ? ». Exemple : $D$ $= (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix})$ .

$det (D)$ $= 7 \times 3 - 4 \times 5$ $= 21 - 20$ $= 1$ .

Comme $det (D) \neq 0$ , $D$ est inversible et $D^{- 1}$ $= (\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 5 & 7 \end{matrix})$ .

Contrôle : coefficient en haut à gauche de $D D^{- 1}$ , $7 \times 3 + 4 \times (- 5) = 1$ .

Attention — on change le signe de b et de c sans les échanger ; det(A) = ad − bc, avec un moins.

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Cas 3 · Inverser une matrice d’ordre 3 par le pivot

Réflexe — tableau (A | I₃) ; zéros sous la diagonale, pivots ramenés à 1, zéros au-dessus ; mêmes opérations des deux côtés.

Exemple. Question type : « Déterminer $N^{- 1}$ par la méthode du pivot ». Exemple : $N$ $= (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})$ .

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ : $(0 1 - 2 ∣ - 2 1 0)$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ : $(0 1 0 ∣ - 1 0 1)$ .

$L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ : $(0 0 2 ∣ 1 - 1 1)$ , puis on divise par $2$ . On remonte : $L_{2} \leftarrow L_{2} + 2 L_{3}$ et $L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{3}$ .

$N^{- 1}$ $= \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ - 2 & 0 & 2 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix})$ .

Attention — une ligne nulle à gauche : la matrice n’est pas inversible, on s’arrête.

Cas 4 · Résoudre AX = B avec A inversible

Réflexe — j’écris A, X, B ; A inversible donc X = A⁻¹B ; je vérifie dans une équation et je conclus par un couple ou un triplet.

Exemple. Question type : « Écrire le système sous la forme $A X = B$ et le résoudre ». Exemple : ${\begin{matrix} 7 x + 4 y = 26 \\ 5 x + 3 y = 19 \end{matrix}$

$A$ $= D$ $= (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 5 & 3 \end{matrix})$ (cas 2), $X$ $= (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 26 \\ 19 \end{matrix})$ . Comme $det (D) = 1 \neq 0$ , $D$ est inversible.

$X$ $= D^{- 1} B$ $= (\begin{matrix} 3 & - 4 \\ - 5 & 7 \end{matrix}) (\begin{matrix} 26 \\ 19 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 78 - 76 \\ - 130 + 133 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})$ .

L’unique solution est le couple $(2; 3)$ ; contrôle : $5 \times 2 + 3 \times 3 = 19$ .

Attention — X = A⁻¹B, jamais BA⁻¹ ; et YA = C donne Y = CA⁻¹.

Cas 5 · Conclure quand det(A) = 0

Réflexe — je combine les équations comme les lignes de A ; égalité fausse : aucune solution ; égalité vraie : une infinité, paramétrée par t.

Exemple. Question type : « Le système admet-il une unique solution ? Le résoudre. » Exemple : ${\begin{matrix} 3 x - 6 y = 5 \\ - x + 2 y = 7 \end{matrix}$

$det (A)$ $= 3 \times 2 - (- 6) \times (- 1)$ $= 0$ : $A$ n’est pas inversible.

En multipliant la seconde équation par $- 3$ : $3 x - 6 y = - 21$ . Or la première impose $3 x - 6 y = 5$ .

Comme $5 \neq - 21$ , le système n’a aucune solution.

Attention — det(A) = 0 ne dit pas « aucune solution » : il faut comparer les seconds membres.

Les pièges

Seule une matrice carrée peut être inversible.
det(A) = ad − bc : on soustrait le produit des coefficients b et c.
Inverse 2 × 2 : on échange a et d, on change le signe de b et c, on divise par det(A).
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ : l’ordre s’inverse.
Une inconnue absente d’une équation donne un coefficient 0 dans A.
Un système linéaire a 0, 1 ou une infinité de solutions, jamais exactement 2.

Ce document est la propriété intellectuelle de Ben, professeur particulier (benprofparticulier.fr), protégée par le Code de la propriété intellectuelle (art. L. 111-1 et L. 122-4). Il est mis à disposition pour un usage personnel de révision. Toute reproduction, diffusion, mise en ligne ou revente, totale ou partielle, sans autorisation écrite est interdite et constitue une contrefaçon (art. L. 335-2).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour inverser une matrice ou résoudre un système, puis, pour chacun des cinq cas, les questions types et une réponse rédigée : inverse tiré d’une relation A² = 2A + 3I₂, inverse d’une matrice 2 × 2, pivot sur une matrice d’ordre 3, résolution de AX = B, système dont le déterminant est nul.

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