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Matrice inverse et systèmes

Matrice inversible et propriétés de l’inverse, déterminant et inverse d’une matrice 2 × 2, inverse d’une matrice d’ordre 3 par le pivot, écriture matricielle AX = B et résolution des systèmes linéaires, y compris sans solution ou avec une infinité de solutions.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés : planifier la production d’un atelier, mélanger deux solutions avec une fonction Python qui inverse une matrice 2 × 2, coder et décoder un message, étudier les débits d’un réseau de rues à sens unique, trouver une parabole passant par trois points (interpolation).

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je choisis les inconnues en précisant leur sens et leur unité, puis je traduis chaque information de l’énoncé par une équation.
J’écris le système sous la forme $A X = B$ : une ligne par équation, une colonne par inconnue, un $0$ pour une inconnue absente.
Je décide : $A$ inversible (déterminant, pivot) donne une unique solution $X = A^{- 1} B$ ; sinon je combine les équations pour trancher entre aucune solution et une infinité.
Je calcule une seule fois $A^{- 1}$ et je le réutilise pour chaque nouveau second membre.
J’interprète : une solution mathématique (négative, non entière) n’est pas toujours une solution du problème concret.

Problème 1 · Planifier une production★★★Moyen

Un atelier de céramique fabrique trois modèles de lampes, L1, L2 et L3, par lots. Chaque lot passe par le tournage, la cuisson et l’émaillage. Le tableau donne les heures d’occupation de chaque poste pour un lot de chaque modèle, et le total d’heures utilisées la semaine dernière :

Poste	L1	L2	L3	Total de la semaine
Tournage	3	1	2	86 h
Cuisson	1	2	1	67 h
Émaillage	2	1	3	89 h

On note $x$ , $y$ et $z$ les nombres de lots de L1, L2 et L3 produits.

1. Traduire la situation par un système de trois équations, puis l’écrire sous la forme $A X = B$ . Deuxième ligne de $A$ : , et
Chaque poste fournit une équation : $3 x + y + 2 z = 86$ (tournage), $x + 2 y + z = 67$ (cuisson), $2 x + y + 3 z = 89$ (émaillage). Donc $A$ $= (\begin{matrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix})$ , $X$ $= (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 86 \\ 67 \\ 89 \end{matrix})$ .
2. Par la méthode du pivot, on obtient $A^{- 1} = \frac{1}{8} M$ . Première ligne de $M$ : , et
On échange $L_{1}$ et $L_{2}$ (pivot égal à $1$ ). $L_{2} \leftarrow L_{2} - 3 L_{1}$ : $(0 - 5 - 1 ∣ 1 - 3 0)$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ : $(0 - 3 1 ∣ 0 - 2 1)$ ; $L_{3} \leftarrow 5 L_{3} - 3 L_{2}$ : $(0 0 8 ∣ - 3 - 1 5)$ . Aucune ligne nulle : $A$ est inversible. En remontant : $A^{- 1}$ $= \frac{1}{8} (\begin{matrix} 5 & - 1 & - 3 \\ - 1 & 5 & - 1 \\ - 3 & - 1 & 5 \end{matrix})$ .
3. Nombres de lots produits : L1 : , L2 : , L3 :
$A$ étant inversible, $X$ $= A^{- 1} B$ $= \frac{1}{8} (\begin{matrix} 430 - 67 - 267 \\ - 86 + 335 - 89 \\ - 258 - 67 + 445 \end{matrix})$ $= \frac{1}{8} (\begin{matrix} 96 \\ 160 \\ 120 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 12 \\ 20 \\ 15 \end{matrix})$ . Contrôle avec la cuisson : $12 + 2 \times 20 + 15 = 67$ .
4. La semaine suivante, les totaux relevés sont 94 h, 71 h et 97 h. Solution du nouveau système : $x =$ , $y =$ , $z =$
Seul le second membre change : l’inverse déjà calculé suffit. $X'$ $= \frac{1}{8} (\begin{matrix} 470 - 71 - 291 \\ - 94 + 355 - 97 \\ - 282 - 71 + 485 \end{matrix})$ $= \frac{1}{8} (\begin{matrix} 108 \\ 164 \\ 132 \end{matrix})$ , soit $(13, 5; 20, 5; 16, 5)$ .
5. Le chef d’atelier affirme que ce relevé est forcément erroné. Justifier qu’il a raison. Contrôle : nombre de triplets d’entiers naturels solutions du nouveau système :
Rédaction attendue. Comme $A$ est inversible, le nouveau système a une unique solution, $(13, 5; 20, 5; 16, 5)$ , dont aucune coordonnée n’est entière. Aucun triplet d’entiers ne le vérifie : on ne produit pas de demi-lot, donc les heures relevées ne peuvent pas correspondre à une production réelle, et un relevé a été mal saisi.

Problème 2 · Mélange de deux solutions et fonction Python★★★Moyen

Un laboratoire dispose de deux solutions désinfectantes : S1, titrée à 12 %, et S2, titrée à 30 %. On veut préparer 5 L d’une solution titrée à 18 % en les mélangeant. On note

x

y

les volumes de S1 et de S2, en litres.

1. Justifier que le problème se traduit par le système ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ 0, 12 x + 0, 30 y = 0, 9 \end{matrix}$ puis l’écrire sous la forme $A X = B$ . $det (A) =$
Rédaction attendue. Le volume total donne $x + y = 5$ . La quantité de produit actif du mélange, $0, 12 x + 0, 30 y$ , doit valoir $0, 18 \times 5 = 0, 9$ L. Donc $A$ $= (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0, 12 & 0, 30 \end{matrix})$ , $B$ $= (\begin{matrix} 5 \\ 0, 9 \end{matrix})$ , et $det (A)$ $= 1 \times 0, 30 - 1 \times 0, 12$ $= 0, 18$ .
2. Volumes cherchés, arrondis au centilitre : S1 : L et S2 : L
$det (A) \neq 0$ , donc $A^{- 1}$ $= \frac{1}{0, 18} (\begin{matrix} 0, 30 & - 1 \\ - 0, 12 & 1 \end{matrix})$ et $X$ $= \frac{1}{0, 18} (\begin{matrix} 0, 30 \times 5 - 0, 9 \\ - 0, 12 \times 5 + 0, 9 \end{matrix})$ $= \frac{1}{0, 18} (\begin{matrix} 0, 6 \\ 0, 3 \end{matrix})$ , soit $x = \frac{10}{3} \approx 3, 33$ et $y = \frac{5}{3} \approx 1, 67$ .
3. La fonction suivante renvoie l’inverse de (abcd) sous forme de liste de lignes, ou None.
```
def inverse2(a, b, c, d):
    det = a * d - b * c
    if det == 0:
        return None
    return [[d / det, -b / det],
            [-c / det, a / det]]
```
Valeur de inverse2(4, 2, 3, 2)[1][0] :
Pour $(\begin{matrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{matrix})$ , det vaut $4 \times 2 - 2 \times 3 = 2$ , et la fonction renvoie [[1.0, -1.0], [-1.5, 2.0]]. L’élément [1][0] est celui de la ligne 2 et de la colonne 1 (on numérote à partir de 0) : $- \frac{3}{2} = - 1, 5$ .
4. Que renvoie inverse2(4, 6, 2, 3) ?
$4 \times 3 - 6 \times 2 = 0$ : la matrice n’est pas inversible, le test det == 0 est vrai et la fonction renvoie None sans tenter de diviser par $0$ .
5. Un technicien veut préparer 5 L titrés à 35 % avec les mêmes produits. Résoudre le nouveau système et expliquer pourquoi la réponse n’a pas de sens. Valeur de $x$ arrondie au centième :
Rédaction attendue. Le second membre devient $(\begin{matrix} 5 \\ 1, 75 \end{matrix})$ car $0, 35 \times 5 = 1, 75$ . Alors $X'$ $= \frac{1}{0, 18} (\begin{matrix} 1, 5 - 1, 75 \\ - 0, 6 + 1, 75 \end{matrix})$ $= \frac{1}{0, 18} (\begin{matrix} - 0, 25 \\ 1, 15 \end{matrix})$ , soit $x = - \frac{25}{18} \approx - 1, 39$ et $y = \frac{115}{18} \approx 6, 39$ . Le système a une unique solution, mais un volume négatif n’a aucun sens. C’était prévisible : un mélange de 12 % et de 30 % est titré entre 12 % et 30 %.

Problème 3 · Coder et décoder un message★★★Difficile

Chaque lettre est remplacée par son rang : A → 1, B → 2, …, Z → 26. Le message est découpé en couples de lettres, et chaque couple

(x; y)

est codé par le couple

(x'; y')

tel que

(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix})

= A (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

, où

A

= (\begin{matrix} 4 & 3 \\ 5 & 4 \end{matrix})

1. Justifier que la matrice de codage $A$ est inversible et donner son inverse. Ligne 1 de $A^{- 1}$ : et ; ligne 2 : et
$det (A)$ $= 4 \times 4 - 3 \times 5$ $= 1 \neq 0$ , donc $A^{- 1}$ $= (\begin{matrix} 4 & - 3 \\ - 5 & 4 \end{matrix})$ . Le déterminant valant $1$ , l’inverse est à coefficients entiers : le décodage ne donnera pas de fractions.
2. Code du couple « HE » : ( ; )
H a pour rang $8$ et E pour rang $5$ : $(\begin{matrix} 4 & 3 \\ 5 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 32 + 15 \\ 40 + 20 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 47 \\ 60 \end{matrix})$ .
3. Décoder le couple $(39; 49)$ : les deux lettres sont
Décoder, c’est résoudre $A X$ $= (\begin{matrix} 39 \\ 49 \end{matrix})$ : $X$ $= A^{- 1} (\begin{matrix} 39 \\ 49 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 156 - 147 \\ - 195 + 196 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 9 \\ 1 \end{matrix})$ . Les rangs $9$ et $1$ donnent « IA ». Contrôle : $4 \times 9 + 3 \times 1 = 39$ .
4. Démontrer que tout couple codé provient d’un unique couple de départ, puis décoder $(55; 70)$ :
Rédaction attendue. Les couples de départ d’un code $(x'; y')$ sont les solutions du système $A X$ $= (\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix})$ . Comme $det (A) \neq 0$ , $A$ est inversible et ce système a une unique solution, $X$ $= A^{- 1} (\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix})$ : le décodage est toujours possible et sans ambiguïté. Ici $(\begin{matrix} 4 & - 3 \\ - 5 & 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} 55 \\ 70 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 220 - 210 \\ - 275 + 280 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 10 \\ 5 \end{matrix})$ : « JE ».
5. On remplace $A$ par $A'$ $= (\begin{matrix} 2 & 6 \\ 3 & 9 \end{matrix})$ . Les couples « DA » et « AB » ont alors le même code : ( ; )
« DA » $= (4; 1)$ : $(\begin{matrix} 2 \times 4 + 6 \times 1 \\ 3 \times 4 + 9 \times 1 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 14 \\ 21 \end{matrix})$ . « AB » $= (1; 2)$ : $(\begin{matrix} 2 + 12 \\ 3 + 18 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 14 \\ 21 \end{matrix})$ . Deux messages différents, un seul code.
6. Déterminer tous les couples de réels de code $(20; 30)$ par $A'$ , puis le nombre de couples de lettres ayant ce code :
Rédaction attendue. $det (A') = 2 \times 9 - 6 \times 3 = 0$ : $A'$ n’est pas inversible. La seconde équation $3 x + 9 y = 30$ est $\frac{3}{2}$ fois la première $2 x + 6 y = 20$ : le système se réduit à $x + 3 y = 10$ . En posant $y = t$ : les couples $(10 - 3 t; t)$ , $t \in ℝ$ , une infinité. Pour des lettres, $t$ est un entier avec $t ⩾ 1$ et $10 - 3 t ⩾ 1$ , soit $t = 1$ , $t = 2$ ou $t = 3$ : « GA », « DB » et « AC ». Ce codage est inutilisable : l’inversibilité de la matrice est la condition même du décodage.

Problème 4 · Débits dans un réseau à sens unique★★★Difficile

Trois rues à sens unique forment une boucle passant par les carrefours A, B et C. On note

x

y

z

les débits, en véhicules par heure, des tronçons A → B, B → C et C → A. Un capteur placé à chaque carrefour indique qu’au carrefour B, 40 véhicules par heure quittent la boucle par un parking, qu’au carrefour C, 30 véhicules par heure la quittent par une bretelle, et qu’au carrefour A, 70 véhicules par heure y entrent. En chaque carrefour, il entre autant de véhicules qu’il en sort.

1. Justifier que la situation se traduit par le système ${\begin{matrix} x - y = 40 \\ y - z = 30 \\ x - z = 70 \end{matrix}$ puis l’écrire sous la forme $A X = B$ . Coefficients de la troisième ligne de la matrice $A$ : , et
Rédaction attendue. En B, il entre $x$ et il sort $y + 40$ : $x - y = 40$ . En C : $y = z + 30$ , soit $y - z = 30$ . En A, il entre $z + 70$ et il sort $x$ : $x - z = 70$ . Donc $A$ $= (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 1 & 0 & - 1 \end{matrix})$ et $B$ $= (\begin{matrix} 40 \\ 30 \\ 70 \end{matrix})$ ; la troisième ligne est $(1; 0; - 1)$ , le coefficient de $y$ étant nul.
2. Montrer que $A$ n’est pas inversible, puis résoudre le système en posant $z = t$ : $x = t +$ et $y = t +$
Rédaction attendue. $L_{1} + L_{2} = (1; 0; - 1) = L_{3}$ : l’opération $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} - L_{2}$ donne une ligne nulle, $A$ n’est pas inversible. Les seconds membres vérifient la même relation, $40 + 30 = 70$ : la troisième équation n’apporte rien. Avec $z = t$ : $y = t + 30$ puis $x = y + 40 = t + 70$ . Les solutions sont les triplets $(t + 70; t + 30; t)$ , $t \in ℝ$ : les capteurs ne donnent que les écarts entre débits.
3. Les trois débits sont positifs ou nuls et le tronçon A → B supporte au plus 200 véhicules par heure. Valeurs possibles de $z$ : de à
$z = t ⩾ 0$ (les deux autres débits sont alors positifs) et $x = t + 70 ⩽ 200$ , soit $t ⩽ 130$ . Donc $0 ⩽ z ⩽ 130$ , et par suite $30 ⩽ y ⩽ 160$ et $70 ⩽ x ⩽ 200$ .
4. Un relevé donne $x = 150$ . Alors $y =$ et $z =$
$t + 70 = 150$ donne $t = 80$ , compris entre $0$ et $130$ . Donc $y = 80 + 30 = 110$ et $z = 80$ : une seule mesure supplémentaire lève l’indétermination.
5. Le lendemain, les capteurs de B et de C donnent les mêmes valeurs, mais celui de A conduit à l’équation $x - z = 60$ . Montrer que ce relevé est impossible. Nombre de solutions du nouveau système :
Rédaction attendue. Les deux premières équations donnent, par addition, $x - z$ $= (x - y) + (y - z)$ $= 40 + 30$ $= 70$ . Le troisième capteur impose $x - z = 60$ : on aurait $70 = 60$ . Le système n’a aucune solution, le capteur de A est déréglé. Avec la même matrice non inversible, on passe d’une infinité de solutions à aucune selon le second membre.

Problème 5 · Une parabole passant par trois points★★★Difficile

On cherche une fonction

f

définie sur

ℝ

par

f (x) = a x^{2} + b x + c

dont la courbe passe par des points donnés : c’est un problème d’interpolation. On commence par les points

P (- 1; 6)

Q (1; 2)

R (2; 3)

, et on note

X

= (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

1. Justifier que $X$ est solution d’un système $V X = Y$ , avec $Y$ $= (\begin{matrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ . Troisième ligne de $V$ : , et
Rédaction attendue. La courbe passe par $P$ si et seulement si $f (- 1) = 6$ , soit $a - b + c = 6$ . De même $f (1) = 2$ donne $a + b + c = 2$ et $f (2) = 3$ donne $4 a + 2 b + c = 3$ . Donc $V$ $= (\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{matrix})$ : chaque ligne est $(x^{2}; x; 1)$ pour l’abscisse d’un point.
2. Par la méthode du pivot, $V^{- 1} = \frac{1}{6} W$ . Première ligne de $W$ : , et
$L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ : $(0 2 0 ∣ - 1 1 0)$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} - 4 L_{1}$ : $(0 6 - 3 ∣ - 4 0 1)$ ; $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{2}$ : $(0 0 - 3 ∣ - 1 - 3 1)$ . Aucune ligne nulle : $V$ est inversible. En remontant : $V^{- 1}$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ - 3 & 3 & 0 \\ 2 & 6 & - 2 \end{matrix})$ .
3. Coefficients de $f$ : $a =$ , $b =$ et $c =$
$X$ $= V^{- 1} Y$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} 6 - 6 + 6 \\ - 18 + 6 + 0 \\ 12 + 12 - 6 \end{matrix})$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} 6 \\ - 12 \\ 18 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ , donc $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ . Contrôle : $f (2) = 4 - 4 + 3 = 3$ .
4. Avec les mêmes abscisses $- 1$ , $1$ et $2$ , les ordonnées deviennent $- 4$ , $2$ et $- 1$ . Nouveaux coefficients : $a =$ , $b =$ et $c =$
La matrice $V$ ne change pas : $X$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} - 4 - 6 - 2 \\ 12 + 6 + 0 \\ - 8 + 12 + 2 \end{matrix})$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} - 12 \\ 18 \\ 6 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})$ , soit $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ . Contrôle : $f (- 1) = - 2 - 3 + 1 = - 4$ .
5. Avec les points $(- 1; 5)$ , $(1; 1)$ et $(2; - 1)$ , on trouve $a =$ . Interpréter.
Rédaction attendue. $X$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} 5 - 3 - 2 \\ - 15 + 3 + 0 \\ 10 + 6 + 2 \end{matrix})$ $= \frac{1}{6} (\begin{matrix} 0 \\ - 12 \\ 18 \end{matrix})$ $= (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ . Donc $a = 0$ : $f (x) = - 2 x + 3$ . Les trois points sont alignés sur la droite d’équation $y = - 2 x + 3$ ; aucune parabole (avec $a \neq 0$ ) ne passe par eux.
6. On choisit maintenant les points $(1; 2)$ , $(1; 4)$ et $(2; 3)$ . Justifier que la matrice du système n’est pas inversible, puis donner le nombre de fonctions $f$ qui conviennent :
Rédaction attendue. Deux points ont la même abscisse $1$ : les deux premières lignes de la matrice sont égales à $(1; 1; 1)$ , et $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne une ligne nulle, donc la matrice n’est pas inversible. Les équations $a + b + c = 2$ et $a + b + c = 4$ sont incompatibles : aucune fonction ne convient. C’était attendu : une fonction ne prend qu’une valeur en $x = 1$ .

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