Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes
Calculer l'inverse d'une matrice 2×2 ou 3×3 et résoudre des systèmes linéaires par la méthode matricielle (programme Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Déterminants et inversibilité
/ 4 pts- Calcule le déterminant de $A = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 2 & 4\end{pmatrix}$ et de $B = \begin{pmatrix}6 & 4 \\ 3 & 2\end{pmatrix}$.
- Ces matrices sont-elles inversibles ? Justifie.
Exercice 2 — Calcul de matrice inverse et vérification
/ 5 pts- Soit $M = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$. Calcule $M^{-1}$.
- Vérifie que $M \times M^{-1} = I_2$ en effectuant le produit matriciel.
Exercice 3 — Résolution d'un système par AX = B
/ 5 pts- Résous le système $\begin{cases}4x + 3y = 11 \\ x + y = 3\end{cases}$ en le mettant sous forme $AX = B$ et en utilisant $M^{-1}$ calculé à l'exercice précédent.
- Vérifie la solution dans les équations initiales.
Exercice 4 — Pivot de Gauss sur un système 3×3
/ 4 pts- Résous par le pivot de Gauss : $\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 4\end{cases}$
- Donne les opérations effectuées et la solution $(x, y, z)$.
Exercice 5 — Discussion d'un système selon un paramètre
/ 2 pts- Soit le système $\begin{cases}kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12\end{cases}$ où $k$ est un réel. Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ le système a-t-il une solution unique ? une infinité de solutions ? Aucune solution ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Déterminants et inversibilité
Corrigé :
$\det(A) = 5\times4 - 3\times2 = 20 - 6 = 14 \neq 0$ → A est inversible.
$\det(B) = 6\times2 - 4\times3 = 12 - 12 = 0$ → B n'est pas inversible (les lignes sont proportionnelles : $(6,4) = 2\times(3,2)$).
Exercice 2 — Calcul de matrice inverse et vérification
Corrigé :
$\det(M) = 4\times1 - 3\times1 = 1$.
$M^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & -3 \\ -1 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -3 \\ -1 & 4\end{pmatrix}$.
Vérification :
$M \times M^{-1} = \begin{pmatrix}4&3\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-3\\-1&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\times1+3\times(-1) & 4\times(-3)+3\times4 \\ 1\times1+1\times(-1) & 1\times(-3)+1\times4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = I_2$. ✓
Exercice 3 — Résolution d'un système par AX = B
Corrigé :
La matrice des coefficients est $M = \begin{pmatrix}4&3\\1&1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix}$.
$X = M^{-1}B = \begin{pmatrix}1&-3\\-1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}11\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11-9\\-11+12\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$.
Donc $x = 2$ et $y = 1$.
Vérification : $4\times2+3\times1=11$ ✓ ; $2+1=3$ ✓.
Exercice 4 — Pivot de Gauss sur un système 3×3
Corrigé :
Matrice augmentée :
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&4\end{array}\right)$$
$L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ : $(0,-3,-1,-9)$.
$L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ : $(0,1,-2,-2)$.
$L_3 \leftarrow L_3 + \frac{1}{3}L_2$ (ou $3L_3 \leftarrow 3L_3 + L_2$) :
$3L_3+L_2 : (0,0,-7,-15)$.
Donc $-7z = -15 \Rightarrow z = 15/7$. Hmm, essayons de vérifier : $-3y - z = -9$ et $z=15/7$ → $-3y = -9+15/7 = (-63+15)/7=-48/7 \Rightarrow y=16/7$. Puis $x=6-16/7-15/7=6-31/7=42/7-31/7=11/7$.
Solution : $(x,y,z) = (11/7, 16/7, 15/7)$. Vérif ligne 1 : $11/7+16/7+15/7=42/7=6$ ✓ ; ligne 2 : $22/7-16/7+15/7=21/7=3$ ✓ ; ligne 3 : $11/7+32/7-15/7=28/7=4$ ✓.
Exercice 5 — Discussion d'un système selon un paramètre
Corrigé :
La matrice des coefficients est $A = \begin{pmatrix}k&2\\3&6\end{pmatrix}$.
$\det(A) = 6k - 6 = 6(k-1)$.
— Si $k \neq 1$ : $\det(A) \neq 0$ → solution unique.
— Si $k = 1$ : $\det(A) = 0$. La 2e équation vaut $3x+6y=12 \Leftrightarrow x+2y=4$, qui est la même que la 1re. Donc infinité de solutions de la forme $(4-2t, t)$, $t \in \mathbb{R}$.
Il n'y a jamais de système incompatible car pour $k=1$ les deux équations sont identiques.
Ce contrôle de maths expertes (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Déterminants et inversibilité/ 4 pts
- Exercice 2 — Calcul de matrice inverse et vérification/ 5 pts
- Exercice 3 — Résolution d'un système par AX = B/ 5 pts
- Exercice 4 — Pivot de Gauss sur un système 3×3/ 4 pts
- Exercice 5 — Discussion d'un système selon un paramètre/ 2 pts
Notions évaluées
Rappels — déterminant d'une matrice 2×2, Matrice inverse d'une matrice 2×2, Existence et unicité de la matrice inverse, Matrice inverse d'une matrice 3×3 : méthode de Gauss-Jordan, Résolution d'un système AX = B, Le pivot de Gauss — méthode sur la matrice augmentée.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths expertes (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes » du programme officiel de maths expertes (option tle) en terminale, soit Rappels — déterminant d'une matrice 2×2, Matrice inverse d'une matrice 2×2, Existence et unicité de la matrice inverse, Matrice inverse d'une matrice 3×3 : méthode de Gauss-Jordan.
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