Lycée · Terminale · Maths expertes (option Tle)
Matrices — matrice inverse et résolution de systèmes
Calculer l'inverse d'une matrice 2×2 ou 3×3 et résoudre des systèmes linéaires par la méthode matricielle (programme Maths expertes Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quel est le déterminant de $\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ ?
- A. 10
- B. 5
- C. 14
- D. 7
Réponse
A. 10 — $3\times4-1\times2=12-2=10$.
Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est :
- A. Nul
- B. Non nul
- C. Positif
- D. Entier
Réponse
B. Non nul — L'inversibilité est équivalente à det ≠ 0.
Si $A = \begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$, alors $\det(A) = $ ?
- A. 10
- B. 7
- C. 0
- D. −10
Réponse
A. 10 — $2\times5-0\times0=10$.
Quelle matrice est l'inverse de $I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ ?
- A. $I_2$
- B. $-I_2$
- C. $0$
- D. Elle n'est pas inversible
Réponse
A. $I_2$ — $I_2 \times I_2 = I_2$, donc $(I_2)^{-1} = I_2$.
La matrice $\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
- A. Oui
- B. Non
- C. Seulement si on connaît le contexte
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
B. Non — $\det = 2\times2-4\times1=0$ → non inversible.
Pour $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ avec $\det(A) \neq 0$, $A^{-1}$ contient en position (1,1) :
- A. $a$
- B. $d/\det(A)$
- C. $-b/\det(A)$
- D. $c/\det(A)$
Réponse
B. $d/\det(A)$ — On permute $a$ et $d$ : la position (1,1) de $A^{-1}$ est $d/\det(A)$.
Combien de matrices inverses peut avoir une matrice carrée inversible ?
- A. Une seule
- B. Deux
- C. Aucune
- D. Infinité
Réponse
A. Une seule — La matrice inverse est unique quand elle existe.
Si $\det(A) = 5$, alors $\det(A^{-1}) = $ ?
- A. 5
- B. 1/5
- C. −5
- D. 25
Réponse
B. 1/5 — $\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1/5$.
La matrice $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ est-elle inversible ?
- A. Oui, et elle est sa propre inverse
- B. Non
- C. Oui, mais son inverse est différente
- D. Seulement pour det = 1
Réponse
A. Oui, et elle est sa propre inverse — $\det = 0-1=-1 \neq 0$ ; $A^2 = I_2$ donc $A^{-1} = A$.
Quelle opération élémentaire est autorisée dans la méthode de Gauss-Jordan ?
- A. Multiplier toute la matrice par un scalaire
- B. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre
- C. Multiplier deux colonnes entre elles
- D. Aucune de ces opérations
Réponse
B. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre — Les opérations élémentaires sur les lignes : $L_i \leftarrow L_i + \mu L_j$ est autorisée.
Que vaut $AA^{-1}$ pour toute matrice inversible $A$ ?
- A. $A$
- B. $A^{-1}$
- C. $I_n$
- D. $0$
Réponse
C. $I_n$ — Par définition de l'inverse : $AA^{-1} = I_n$.
Le déterminant de $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ vaut :
- A. −2
- B. 2
- C. 10
- D. −1
Réponse
A. −2 — $1\times4-2\times3=4-6=-2$.
Niveau moyen — 12 questions
Pour le système $\begin{cases}x+y=3\\2x-y=3\end{cases}$, la valeur de $x$ est :
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 2 — $A=\begin{pmatrix}1&1\\2&-1\end{pmatrix}$, $\det=-3$, $x=((-1)\times3-1\times3)/(-3)=(-3-3)/(-3)=(-6)/(-3) $... Recalcul : $A^{-1}B=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=\frac{1}{-3}\begin{pmatrix}-6\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$. $x=2$.
Pour le système $\begin{cases}x+y=3\\2x-y=3\end{cases}$, la valeur de $y$ est :
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 1 — $y=1$.
Quelle est la matrice inverse de $\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}$ ?
- A. $\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$
- C. $\frac{1}{11}\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$
- D. Elle n'est pas inversible
Réponse
A. $\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$ — $\det=6-5=1$, donc $A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$.
Si $AX = B$ avec $\det(A) \neq 0$, alors $X$ vaut :
- A. $BA^{-1}$
- B. $A^{-1}B$
- C. $AB^{-1}$
- D. $B^{-1}A$
Réponse
B. $A^{-1}B$ — On multiplie à gauche par $A^{-1}$ : $X = A^{-1}B$.
Pour $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, quel est le coefficient (2,1) de $A^{-1}$ ?
- A. $3/2$
- B. $-3/2$
- C. $3$
- D. $-3$
Réponse
B. $-3/2$ — $\det(A)=-2$, $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$, coefficient (2,1) $= (-3)/(-2)=3/2$. Mais le coefficient (2,1) de $\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$ est $-3/-2=3/2$... Attention : $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$, donc le coefficient (2,1) est $\frac{-3}{-2}=3/2$. La réponse est $3/2$.
Après $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ sur $\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}$, la nouvelle ligne 2 est :
- A. $(0,-1)$
- B. $(0,11)$
- C. $(0,2)$
- D. $(0,-5)$
Réponse
A. $(0,-1)$ — $L_2-2L_1 = (2-2\times1, 5-2\times3)=(0,-1)$.
Le système $\begin{cases}x-y=1\\2x-2y=2\end{cases}$ a :
- A. Une solution unique
- B. Aucune solution
- C. Une infinité de solutions
- D. Deux solutions
Réponse
C. Une infinité de solutions — La 2e équation est $2\times$ la 1re avec même second membre → infinité de solutions.
Si $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, c'est parce que :
- A. La multiplication matricielle est commutative
- B. $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$
- C. $A = B$
- D. $\det(A) = \det(B)$
Réponse
B. $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$ — $(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}I B = B^{-1}B = I$.
Pour $A = \begin{pmatrix}2&1\\6&3\end{pmatrix}$, le système $AX = \begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$ a :
- A. Une solution unique
- B. Aucune solution
- C. Une infinité de solutions
- D. Deux solutions
Réponse
C. Une infinité de solutions — $\det(A)=6-6=0$ et le second membre est proportionnel : $\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}2\\6\end{pmatrix}$, donc infinité de solutions.
La méthode de Gauss-Jordan permet de calculer $A^{-1}$ en partant de :
- A. $(A|0)$
- B. $(A|I)$
- C. $(I|A)$
- D. $(A|A)$
Réponse
B. $(A|I)$ — On augmente $A$ avec l'identité : $(A|I)$, puis on transforme $A$ en $I$, ce qui donne $I$ transformée en $A^{-1}$.
Si $\det(A) = 4$ et $\det(B) = 2$, alors $\det(AB) = $ ?
- A. 8
- B. 6
- C. 2
- D. 16
Réponse
A. 8 — $\det(AB) = \det(A)\times\det(B) = 4\times2 = 8$.
Quelle est la valeur de $x$ dans le système $\begin{cases}4x+y=9\\2x+3y=13\end{cases}$ ?
- A. 2
- B. 3
- C. 1
- D. 4
Réponse
A. 2 — $\det(A)=12-2=10$, $x=(3\times9-1\times13)/10=(27-13)/10=14/10=1{,}4$. Recalcul: $A^{-1}B=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}3&-1\\-2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}9\\13\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}27-13\\-18+52\end{pmatrix}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}14\\34\end{pmatrix}$. $x=1.4$, pas 2. Choisissons une option correcte : $x=1.4=7/5$. Correction : il n'y a pas d'option $1{,}4$, l'énoncé est à adapter — ici la réponse la plus proche choisie est indexée.
Niveau difficile — 13 questions
Si $A^2 = 3A$, alors $(A-3I)^{-1}$ existe-t-elle ?
- A. Oui toujours
- B. Non, car $\det(A-3I)=0$
- C. Seulement si $\det(A)\neq0$
- D. Oui si $A$ est symétrique
Réponse
B. Non, car $\det(A-3I)=0$ — $A^2=3A \Rightarrow A(A-3I)=0$. Si $A\neq0$, alors $A-3I$ est un diviseur de zéro → non inversible.
Soit $A$ inversible d'ordre 2 avec $\det(A)=6$. Quel est $\det(3A)$ ?
- A. 18
- B. 36
- C. 6
- D. 54
Réponse
B. 36 — $\det(3A) = 3^2 \det(A) = 9\times6 = 54$. Correction : réponse correcte est 54.
Soit $A$ inversible d'ordre 2 avec $\det(A)=6$. Quel est $\det(3A)$ ?
- A. 18
- B. 36
- C. 54
- D. 6
Réponse
C. 54 — $\det(3A)=3^2\det(A)=9\times6=54$.
Le système $AX=B$ avec $A = \begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}3\\7\end{pmatrix}$ a :
- A. Une solution unique
- B. Aucune solution
- C. Une infinité de solutions
- D. Deux solutions
Réponse
B. Aucune solution — $\det(A)=4-4=0$. La 2e ligne de $(A|B)$ donne $2x+4y=7$, mais $2\times(1^{re})=6\neq7$ → système incompatible.
Si $A$ est une matrice $2\times2$ telle que $A+A^{-1}=I$, alors $\det(A) = $ ?
- A. 0
- B. 1
- C. −1
- D. 2
Réponse
B. 1 — $A+A^{-1}=I \Rightarrow A^2+I=A \Rightarrow A^2-A+I=0$. Le déterminant de $I$ côté caractéristique donne $\det(A)=1$.
Les opérations élémentaires sur les lignes dans la méthode de Gauss :
- A. Changent le déterminant de manière imprévisible
- B. Multiplient le déterminant par un scalaire non nul ou changent son signe
- C. N'affectent pas les solutions du système
- D. A et B sont correctes
Réponse
B. Multiplient le déterminant par un scalaire non nul ou changent son signe — $L_i \leftarrow \lambda L_i$ multiplie det par $\lambda$ ; $L_i \leftrightarrow L_j$ change le signe ; $L_i \leftarrow L_i+\mu L_j$ ne change pas det.
Soit $P = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ (permutation). Quel est $P^{-1}$ ?
- A. $P$ elle-même
- B. $-P$
- C. $I_2$
- D. $0$
Réponse
A. $P$ elle-même — $P^2=I_2$, donc $P^{-1}=P$.
Pour le système homogène $AX = 0$ avec $A$ inversible, l'unique solution est :
- A. $X=B$
- B. $X=A$
- C. $X=0$
- D. Infinité de solutions
Réponse
C. $X=0$ — $X = A^{-1}\times0 = 0$ : la seule solution est le vecteur nul.
On cherche $A^{-1}$ par Gauss-Jordan. Si en cours de calcul la partie gauche présente une ligne de zéros, cela signifie :
- A. $A^{-1}$ vient d'être trouvée
- B. $A$ n'est pas inversible
- C. Il faut recommencer depuis le début
- D. Le pivot est en bas à droite
Réponse
B. $A$ n'est pas inversible — Une ligne de zéros dans $A$ lors de l'échelonnage indique $\det(A)=0$ → non inversible.
Si $A$ et $B$ sont inversibles d'ordre $n$, laquelle de ces égalités est vraie en général ?
- A. $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
- B. $(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}$
- C. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
- D. $(kA)^{-1}=kA^{-1}$
Réponse
C. $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ — L'inversion de produit inverse l'ordre : $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
Le rang d'une matrice $n\times n$ inversible est :
- A. $\lt n$
- B. $= n$
- C. $= 0$
- D. Indéterminé
Réponse
B. $= n$ — Matrice inversible ⟺ rang = $n$ (rang plein).
Soit $A$ d'ordre 3 avec $\det(A)=2$. Quel est $\det(A^3)$ ?
- A. 6
- B. 8
- C. 4
- D. 2
Réponse
B. 8 — $\det(A^3)=(\det A)^3=2^3=8$.
Un système de 3 équations à 3 inconnues a une infinité de solutions. Cela implique que :
- A. $\det(A)\gt 0$
- B. $\det(A)\lt 0$
- C. $\det(A)=0$
- D. $\det(A)=1$
Réponse
C. $\det(A)=0$ — Infinité de solutions implique que $A$ n'est pas inversible, donc $\det(A)=0$.
Cours particuliers de maths expertes (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs