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Matrice inverse et systèmes

Matrice inversible et propriétés de l’inverse, déterminant et inverse d’une matrice 2 × 2, inverse d’une matrice d’ordre 3 par le pivot, écriture matricielle AX = B et résolution des systèmes linéaires, y compris sans solution ou avec une infinité de solutions.

À propos de cette page
Un QCM sur la matrice inverse et les systèmes en trois niveaux de douze questions : déterminant, critère d’inversibilité, inverse 2 × 2, écriture AX = B, étape du pivot, puis propriétés de l’inverse et systèmes sans solution ou à une infinité de solutions. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Quel est le déterminant de la matrice [6 2 ; 5 3] ?

    • A. 28
    • B. 8
    • C. 13
    • D. −8
    Réponse

    B. 8 — det = ad − bc = 6 × 3 − 2 × 5 = 18 − 10 = 8. On soustrait le produit des deux autres coefficients, on ne l’ajoute pas.

  2. Une matrice carrée d’ordre 2 est inversible si et seulement si :

    • A. son déterminant est nul
    • B. tous ses coefficients sont non nuls
    • C. son déterminant est non nul
    • D. elle est triangulaire
    Réponse

    C. son déterminant est non nul — C’est le critère du cours. Une matrice peut contenir des zéros et être inversible, comme [0 2 ; 5 0], de déterminant −10.

  3. Quelle est la matrice A du système formé par 5x + 2y = 3 et x − 4y = 7 ?

    • A. [5 1 ; 2 −4]
    • B. [3 7 ; 5 2]
    • C. [5 2 ; −1 4]
    • D. [5 2 ; 1 −4]
    Réponse

    D. [5 2 ; 1 −4] — Chaque ligne de A reprend, dans l’ordre, les coefficients d’une équation : (5 ; 2) puis (1 ; −4). Les seconds membres vont dans B.

  4. Quel est l’inverse de la matrice [2 7 ; 1 4] ?

    • A. [4 −7 ; −1 2]
    • B. [4 7 ; 1 2]
    • C. [2 −7 ; −1 4]
    • D. [4 −1 ; −7 2]
    Réponse

    A. [4 −7 ; −1 2] — Le déterminant vaut 2 × 4 − 7 × 1 = 1. On échange les coefficients de la diagonale principale et on change le signe des deux autres.

  5. Si A est inversible, la solution du système AX = B s’écrit :

    • A. X = BA⁻¹
    • B. X = A⁻¹B
    • C. X = AB⁻¹
    • D. X = B⁻¹A
    Réponse

    B. X = A⁻¹B — On multiplie les deux membres à gauche par A⁻¹. Avec B de format n × 1, le produit BA⁻¹ n’existe même pas.

  6. Parmi ces matrices, laquelle n’est pas inversible ?

    • A. [1 2 ; 3 4]
    • B. [0 1 ; 1 0]
    • C. [5 1 ; 4 1]
    • D. [3 −6 ; −2 4]
    Réponse

    D. [3 −6 ; −2 4] — 3 × 4 − (−6) × (−2) = 12 − 12 = 0 : les deux lignes sont proportionnelles. Les autres déterminants valent −2, −1 et 1.

  7. Quelle est la matrice inverse de I₂ ?

    • A. I₂ elle-même
    • B. la matrice nulle
    • C. −I₂
    • D. (1/2)I₂
    Réponse

    A. I₂ elle-même — I₂ × I₂ = I₂ : la matrice identité est son propre inverse.

  8. Combien de solutions un système linéaire de deux équations à deux inconnues peut-il admettre ?

    • A. exactement 0 ou 1
    • B. au maximum 2
    • C. 0, 1 ou une infinité
    • D. au maximum 3
    Réponse

    C. 0, 1 ou une infinité — Ce sont les trois seuls cas possibles : deux droites strictement parallèles, sécantes ou confondues.

  9. Pour montrer que B est l’inverse de la matrice carrée A, de même ordre, il suffit de vérifier que :

    • A. A + B = Iₙ
    • B. AB = BA
    • C. det(B) = 1
    • D. AB = Iₙ
    Réponse

    D. AB = Iₙ — Pour deux matrices carrées de même ordre, AB = Iₙ entraîne BA = Iₙ : un seul produit suffit.

  10. Dans la méthode du pivot, quelle opération sur les lignes est interdite ?

    • A. échanger deux lignes
    • B. multiplier une ligne par 0
    • C. diviser une ligne par 3
    • D. ajouter à une ligne le double d’une autre
    Réponse

    B. multiplier une ligne par 0 — Multiplier une ligne par 0 efface une équation : on perd de l’information. Les trois autres opérations sont autorisées.

  11. Quelle est la deuxième ligne de la matrice du système x + y + z = 6, 4y − z = 2, 2x + 3z = 5 ?

    • A. [4 −1 0]
    • B. [0 4 1]
    • C. [0 4 −1]
    • D. [4 −1]
    Réponse

    C. [0 4 −1] — Il manque x dans la deuxième équation : son coefficient vaut 0. On garde l’ordre x, y, z : (0 ; 4 ; −1).

  12. Laquelle de ces matrices triangulaires est inversible ?

    • A. [1 6 ; 0 −2]
    • B. [0 3 ; 0 4]
    • C. [2 5 ; 0 0]
    • D. [0 0 ; 7 1]
    Réponse

    A. [1 6 ; 0 −2] — Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun coefficient diagonal n’est nul : seule [1 6 ; 0 −2] convient, de déterminant −2.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Quel est l’inverse de la matrice [5 7 ; 2 3] ?

    • A. [3 7 ; 2 5]
    • B. [3 −7 ; −2 5]
    • C. [−3 7 ; 2 −5]
    • D. [3 −2 ; −7 5]
    Réponse

    B. [3 −7 ; −2 5] — det = 5 × 3 − 7 × 2 = 1. On échange 5 et 3, on change le signe de 7 et de 2, sans échanger ces deux coefficients.

  2. Quelle est la solution du système x + 3y = 13 et 2x + 5y = 22 ?

    • A. (4 ; 1)
    • B. (−1 ; 4)
    • C. (7 ; 2)
    • D. (1 ; 4)
    Réponse

    D. (1 ; 4) — det = 5 − 6 = −1, donc A⁻¹ = [−5 3 ; 2 −1] et X = A⁻¹B : −65 + 66 = 1 et 26 − 22 = 4. Contrôle : 2 + 20 = 22.

  3. Pour quelles valeurs de k la matrice [k 3 ; 3 k] n’est-elle pas inversible ?

    • A. k = 3 ou k = −3
    • B. k = 0 uniquement
    • C. k = 3 uniquement
    • D. k = 9 ou k = −9
    Réponse

    A. k = 3 ou k = −3 — det = k² − 9, qui s’annule pour k² = 9, soit k = 3 ou k = −3.

  4. A est une matrice d’ordre 2 telle que det(A) = 5. Que vaut det(2A) ?

    • A. 10
    • B. 5
    • C. 20
    • D. 25
    Réponse

    C. 20 — Chaque coefficient est doublé, donc ad − bc est multiplié par 2 × 2 = 4 : det(2A) = 4 × 5 = 20.

  5. Si A est inversible, combien de colonnes X vérifient AX = O, où O est la colonne nulle ?

    • A. une seule, la colonne nulle
    • B. une infinité de colonnes
    • C. aucune colonne
    • D. exactement deux colonnes
    Réponse

    A. une seule, la colonne nulle — X = A⁻¹O = O : un système dont la matrice est inversible n’a que la solution nulle quand ses seconds membres sont nuls.

  6. Quel est l’inverse de la matrice [3 0 ; 0 −2] ?

    • A. [−3 0 ; 0 2]
    • B. [1/3 0 ; 0 1/2]
    • C. [−1/3 0 ; 0 1/2]
    • D. [1/3 0 ; 0 −1/2]
    Réponse

    D. [1/3 0 ; 0 −1/2] — det = −6 et la formule donne (1/−6) × [−2 0 ; 0 3] : chaque coefficient diagonal est remplacé par son inverse, signe compris.

  7. On sait que A⁻¹ = [2 1 ; 3 2] et B = [4 ; −1]. Quelle est la solution de AX = B ?

    • A. (9 ; 14)
    • B. (7 ; 10)
    • C. (−7 ; 10)
    • D. (10 ; 7)
    Réponse

    B. (7 ; 10) — X = A⁻¹B : 2 × 4 + 1 × (−1) = 7 et 3 × 4 + 2 × (−1) = 10. Il n’est pas nécessaire de connaître A.

  8. Combien de solutions le système 6x − 9y = 12 et −2x + 3y = −4 admet-il ?

    • A. une seule
    • B. aucune
    • C. exactement deux
    • D. une infinité
    Réponse

    D. une infinité — det = 18 − 18 = 0, et la seconde équation est la première multipliée par −1/3 : elles sont équivalentes, une infinité de couples conviennent.

  9. A = [1 2 ; 3 5] a pour inverse [−5 2 ; 3 −1]. Quelle est la solution de AX = [1 ; 0] ?

    • A. (1 ; 3)
    • B. (−5 ; 3)
    • C. (−5 ; 2)
    • D. (2 ; −1)
    Réponse

    B. (−5 ; 3) — X = A⁻¹ × [1 ; 0] est la première colonne de A⁻¹ : (−5 ; 3). Contrôle : −5 + 2 × 3 = 1 et 3 × (−5) + 5 × 3 = 0.

  10. On applique L₂ ← L₂ − 3L₁ au tableau (A | I₂) avec A = [1 2 ; 3 7]. Que devient la deuxième ligne ?

    • A. (0 1 | 1 −3)
    • B. (0 −1 | −3 1)
    • C. (0 1 | −3 1)
    • D. (3 1 | 0 1)
    Réponse

    C. (0 1 | −3 1) — (3 7 | 0 1) − 3 × (1 2 | 1 0) = (0 1 | −3 1). La même opération s’applique aux deux tableaux.

  11. A est inversible et A⁻¹ = [2 1 ; 1 1]. Que vaut (3A)⁻¹ ?

    • A. [6 3 ; 3 3]
    • B. [−6 −3 ; −3 −3]
    • C. [2 1/3 ; 1/3 1]
    • D. [2/3 1/3 ; 1/3 1/3]
    Réponse

    D. [2/3 1/3 ; 1/3 1/3] — (kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹ : on divise chaque coefficient de A⁻¹ par 3.

  12. Quelle est la position relative des droites d’équations 2x + y = 3 et 4x + 2y = 5 ?

    • A. sécantes en un point
    • B. strictement parallèles
    • C. confondues
    • D. perpendiculaires
    Réponse

    B. strictement parallèles — Le déterminant 2 × 2 − 1 × 4 est nul ; en doublant la première équation, on obtient 4x + 2y = 6, et 6 ≠ 5 : aucun point commun.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Pour deux matrices inversibles A et M de même ordre, (AM)⁻¹ est égal à :

    • A. A⁻¹M⁻¹
    • B. M⁻¹A⁻¹
    • C. AM
    • D. (MA)⁻¹
    Réponse

    B. M⁻¹A⁻¹ — L’ordre s’inverse : (AM)(M⁻¹A⁻¹) = A(MM⁻¹)A⁻¹ = AA⁻¹ = Iₙ. Le produit n’étant pas commutatif, A⁻¹M⁻¹ ne convient pas en général.

  2. Si la matrice A d’un système carré AX = B n’est pas inversible, alors ce système :

    • A. n’a jamais de solution
    • B. a toujours une infinité de solutions
    • C. a une unique solution si B n’est pas nulle
    • D. n’a aucune solution ou en a une infinité
    Réponse

    D. n’a aucune solution ou en a une infinité — La non-inversibilité exclut seulement le cas de l’unique solution. Pour trancher, on combine les équations et on compare les seconds membres.

  3. Une matrice carrée A d’ordre 2 vérifie A² = I₂. Que peut-on affirmer ?

    • A. A est inversible et A⁻¹ = A
    • B. A est égale à I₂
    • C. A n’est pas inversible
    • D. det(A) = 1 nécessairement
    Réponse

    A. A est inversible et A⁻¹ = A — A × A = I₂ signifie que A est son propre inverse. La matrice [0 1 ; 1 0] vérifie A² = I₂, avec un déterminant égal à −1.

  4. Combien de solutions le système x + y + z = 1, 2x + 2y + 2z = 2, 3x + 3y + 3z = 4 admet-il ?

    • A. une infinité
    • B. une seule
    • C. aucune
    • D. exactement trois
    Réponse

    C. aucune — La première équation impose 3x + 3y + 3z = 3, alors que la troisième exige 4. Les deux premières sont compatibles, mais une seule incompatibilité suffit.

  5. Deux matrices carrées A et M d’ordre 3 vérifient AM = I₃. Que peut-on affirmer ?

    • A. MA n’est pas définie
    • B. A est inversible et M = A⁻¹
    • C. A n’est pas forcément carrée
    • D. A est la matrice I₃
    Réponse

    B. A est inversible et M = A⁻¹ — Pour des matrices carrées de même ordre, AM = Iₙ entraîne MA = Iₙ : M est l’inverse de A.

  6. A est inversible et AM = AN. Que peut-on en déduire ?

    • A. M et N sont inverses
    • B. rien du tout
    • C. M = N ou A = O
    • D. M = N
    Réponse

    D. M = N — On multiplie à gauche par A⁻¹ : M = N. On ne « simplifie » par une matrice que si elle est inversible.

  7. Que peut-on dire d’une matrice [a b ; a b], dont les deux lignes sont identiques ?

    • A. elle est inversible si a ≠ 0
    • B. elle est inversible si a ≠ b
    • C. elle n’est jamais inversible
    • D. elle est inversible si ab ≠ 0
    Réponse

    C. elle n’est jamais inversible — det = ab − ba = 0 quels que soient a et b : deux lignes proportionnelles annulent le déterminant.

  8. Un système linéaire de trois équations à trois inconnues admet les solutions (1 ; 0 ; 2) et (3 ; 1 ; 0). Que peut-on en déduire ?

    • A. il admet une infinité de solutions
    • B. il admet exactement ces deux solutions
    • C. sa matrice est inversible
    • D. une erreur de calcul a été commise
    Réponse

    A. il admet une infinité de solutions — Si X₁ et X₂ sont solutions de AX = B, alors X₁ + t(X₂ − X₁) l’est aussi pour tout réel t. Deux solutions distinctes en entraînent une infinité.

  9. A est une matrice carrée d’ordre 2 telle que A² − 5A + 2I₂ = O. Que vaut A⁻¹ ?

    • A. (1/2)(A − 5I₂)
    • B. 5I₂ − A
    • C. (1/2)(5I₂ − A)
    • D. A n’est pas inversible
    Réponse

    C. (1/2)(5I₂ − A) — A² − 5A = −2I₂ s’écrit A(5I₂ − A) = 2I₂, donc A × (1/2)(5I₂ − A) = I₂.

  10. A est une matrice carrée non nulle telle que A³ = O. Que peut-on affirmer ?

    • A. A est inversible
    • B. A n’est pas inversible
    • C. A est inversible et A⁻¹ = A²
    • D. A² est inversible
    Réponse

    B. A n’est pas inversible — Si A était inversible, en multipliant A³ = O deux fois à gauche par A⁻¹ on obtiendrait A = O, ce qui est exclu. A² n’est pas inversible non plus : A² × A = A³ = O avec A ≠ O.

  11. Pour quelles valeurs de m le système mx + 2y = 1 et 2x + my = 3 n’a-t-il aucune solution ?

    • A. m = 2 seulement
    • B. m = −2 seulement
    • C. aucune valeur de m
    • D. m = 2 ou m = −2
    Réponse

    D. m = 2 ou m = −2 — det = m² − 4 s’annule pour m = 2 ou m = −2. Pour m = 2 : 2x + 2y = 1 et 2x + 2y = 3 se contredisent. Pour m = −2 : en ajoutant les équations, 0 = 4. Aucune solution dans les deux cas.

  12. A est inversible d’ordre 2. Quelle matrice Y vérifie YA = I₂ + A ?

    • A. Y = A⁻¹ + I₂
    • B. Y = I₂ + A
    • C. Y = A⁻¹
    • D. Y = 2I₂
    Réponse

    A. Y = A⁻¹ + I₂ — On multiplie à droite par A⁻¹ : Y = (I₂ + A)A⁻¹ = A⁻¹ + AA⁻¹ = A⁻¹ + I₂.

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