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Fiche de révision : suites et modèles discrets

Rappels sur les suites, modélisation d’une situation par une suite, suites arithmético-géométriques (suite constante solution, forme explicite, sens de variation, seuil) et représentation graphique des suites uₙ₊₁ = f(uₙ).

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Suites et modèles discrets

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Analyse · Suites)

La démarche pour étudier un modèle discret

1. Je traduis l’énoncé : premier terme $u_{0}$ et relation entre $u_{n + 1}$ et $u_{n}$ ; je contrôle avec $u_{1}$ .

2. Je reconnais le type : forme explicite, suite arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique, ou $u_{n + 1} = f (u_{n})$ .

3. J’étudie la suite : suite constante solution, forme explicite, sens de variation (signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ).

4. J’exploite le modèle : seuil encadré par deux rangs consécutifs, stabilisation autour de la valeur d’équilibre, interprétation avec les unités de l’énoncé.

Le réflexe — chaque conclusion s’appuie sur un calcul valable pour tout n (différence, forme explicite) ; quelques termes calculés ne servent qu’à conjecturer.

Cas 1 · Étudier le sens de variation (rappel)

Réflexe — je calcule uₙ₊₁ − uₙ, je l’étudie pour n entier et je précise le rang à partir duquel le signe est valable.

Exemple. Questions types : « Étudier le sens de variation de $(u_{n})$ ». Exemple : $v_{n} = n^{3} - 6 n$ .

$v_{n + 1} - v_{n} = (n + 1)^{3} - 6 (n + 1) - n^{3} + 6 n$ $= 3 n^{2} + 3 n - 5$ .

Pour $n = 0$ , cette différence vaut $- 5$ : $v_{1} < v_{0}$ . Pour $n ⩾ 1$ , $3 n^{2} + 3 n - 5 ⩾ 3 + 3 - 5 = 1 > 0$ .

$(v_{n})$ est strictement croissante à partir du rang $1$ .

Attention — uₙ₊₁ ≠ uₙ + 1 ; la méthode du quotient exige des termes strictement positifs.

Cas 2 · Traduire un énoncé en relation de récurrence

Réflexe — un pourcentage devient un coefficient multiplicateur, une quantité fixe une addition, dans l’ordre de l’énoncé.

Exemple. Questions types : « Justifier que $u_{n + 1} = \dots$ ». Exemple : un bassin contient $250$ m³ d’eau ; chaque semaine, $3 %$ de l’eau s’évapore, puis on ajoute $9$ m³.

Il reste $97 %$ de l’eau, soit $0, 97 u_{n}$ , puis on ajoute $9$ m³.

Donc $u_{0} = 250$ et $u_{n + 1} = 0, 97 u_{n} + 9$ .

Contrôle : $u_{1} = 0, 97 \times 250 + 9 = 251, 5$ m³.

Attention — « ajouter puis retirer un pourcentage » ne donne pas la même relation que l’ordre inverse.

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Cas 3 · Suite constante solution et forme explicite

Réflexe — c = ac + b ; vₙ = uₙ − c géométrique de raison a ; uₙ = c + (u₀ − c)aⁿ.

Exemple. Questions types : « Déterminer la suite constante solution », « Montrer que $(v_{n})$ est géométrique », « Exprimer $u_{n}$ ». Exemple : $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = 0, 2 u_{n} + 12$ .

$c = 0, 2 c + 12 ⟺ 0, 8 c = 12 ⟺ c = 15$ .

$v_{n} = u_{n} - 15$ : $v_{n + 1} = 0, 2 u_{n} + 12 - 15$ $= 0, 2 (u_{n} - 15) = 0, 2 v_{n}$ , géométrique de raison $0, 2$ , $v_{0} = - 10$ .

Donc $u_{n} = 15 - 10 \times 0, 2^{n}$ ; contrôle : $u_{1} = 15 - 2 = 13$ .

Attention — vₙ = uₙ − c (pas uₙ + c) ; (uₙ) elle-même n’est pas géométrique.

Cas 4 · Sens de variation, seuil, stabilisation

Réflexe — uₙ₊₁ − uₙ = (u₀ − c)aⁿ(a − 1) ; seuil : deux rangs consécutifs + monotonie.

Exemple. Questions types : « Étudier le sens de variation », « À partir de quel rang a-t-on $u_{n} > \dots$ ? ». Suite du cas 3 : $u_{n} = 15 - 10 \times 0, 2^{n}$ , seuil $14, 99$ .

$u_{n + 1} - u_{n} = 10 \times 0, 2^{n} \times (1 - 0, 2)$ $= 8 \times 0, 2^{n} > 0$ : $(u_{n})$ est strictement croissante.

$u_{4} = 14, 984 ⩽ 14, 99$ et $u_{5} = 14, 9968 > 14, 99$ : le premier rang est $5$ , et les suivants conviennent aussi (suite croissante).

Le modèle se stabilise autour de $15$ sans l’atteindre.

Attention — une boucle « tant que u ≤ S » ne s’arrête jamais si S est au-delà de la valeur d’équilibre.

Cas 5 · Représenter uₙ₊₁ = f(uₙ)

Réflexe — courbe de f + droite y = x ; escalier ou spirale ; f(x) = x donne la valeur d’équilibre.

Exemple. Questions types : « Construire les premiers termes », « Conjecturer le comportement ». Exemple : $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \sqrt{5 u_{n} + 6}$ .

$u_{1} = \sqrt{11} \approx 3, 317$ , $u_{2} \approx 4, 752$ : l’escalier monte.

$f (x) = x ⟺ x^{2} = 5 x + 6$ avec $x ⩾ 0$ , soit $x = 6$ ( $- 1$ est exclu).

Conjecture : la suite est croissante et ses termes se rapprochent de $6$ .

Attention — f croissante ne prouve pas que la suite est croissante : on étudie le signe de f(uₙ) − uₙ.

Les pièges

uₙ₊₁ désigne le terme suivant ; uₙ + 1 ajoute 1 au terme.
« Perdre 15 % puis ajouter 120 » et « ajouter 120 puis perdre 15 % » ne donnent pas la même relation.
La suite auxiliaire est uₙ − c, pas uₙ + c ; et (uₙ) n’est pas géométrique.
f croissante ne donne pas une suite croissante : seul le signe de f(uₙ) − uₙ décide.
Un seuil se vérifie sur deux rangs consécutifs, avec la monotonie de la suite.
Un nuage de points ne se relie pas : la suite n’existe que pour des entiers.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour étudier un modèle discret, puis une réponse rédigée pour chacun des cinq cas du cours : sens de variation, traduction d’un énoncé en relation de récurrence, suite constante solution et forme explicite, seuil et stabilisation, construction graphique. Elle se termine par les pièges les plus fréquents en contrôle.

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