Formulaire : équations différentielles

Rappels sur l’exponentielle, notion de solution et vérification, équations y′ = ay et y′ = ay + b avec solution constante, condition initiale et allure des courbes, modélisation (équilibre, seuil), méthode d’Euler.

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Équations différentielles

Fiche tableaux : solutions, allure et méthode d’Euler

(Maths complémentaires Terminale)

Les solutions à connaître

Équation	Solutions sur $ℝ$	Comment les trouver
$y' = b$ (cas $a = 0$ )	$x \mapsto b x + K$	primitives de la constante $b$
$y' = a y$	$x \mapsto C e^{a x}$	théorème du cours
$y' = a y + b$ , $a \neq 0$	$x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}$	solution constante : $a c + b = 0$

Exemple : $y' = - 0, 6 y + 1, 5$ : $- 0, 6 c + 1, 5 = 0$ donne $c = 2, 5$ ; solutions $x \mapsto C e^{- 0, 6 x} + 2, 5$ , $C \in ℝ$ .

Trouver C avec la condition initiale

Donnée (solutions $C e^{a x} + c$ )	Équation en $C$	Valeur de $C$
$f (0) = y_{0}$	$C + c = y_{0}$	$y_{0} - c$
$f (x_{0}) = y_{0}$	$C e^{a x_{0}} + c = y_{0}$	$(y_{0} - c) e^{- a x_{0}}$
$f (x_{0}) = c$	$C e^{a x_{0}} = 0$	$0$ : la solution est constante

Exemple : $y' = 0, 5 y - 2$ et $f (0) = 1$ : $c = 4$ , $C = 1 - 4 = - 3$ , donc $f (x) = 4 - 3 e^{0, 5 x}$ .

Allure des solutions Ce^(ax) + c

Cas	Sens de variation	En $+ \infty$	Position
$a < 0$ , $C > 0$	décroissante	tend vers $c$	au-dessus de $y = c$
$a < 0$ , $C < 0$	croissante	tend vers $c$	au-dessous de $y = c$
$a > 0$ , $C > 0$	croissante	$+ \infty$	au-dessus de $y = c$
$a > 0$ , $C < 0$	décroissante	$- \infty$	au-dessous de $y = c$
$C = 0$	constante	$c$	droite $y = c$

Le sens de variation vient de $f' (x) = a C e^{a x}$ , du signe de $a C$ . Exemple : $f (x) = 11 + 3 e^{- 2 x}$ décroît vers $11$ .

Méthode d’Euler

Étape	Formule
départ	$x_{0}$ , $y_{0} = f (x_{0})$ et un pas $h > 0$
abscisse suivante	$x_{n + 1} = x_{n} + h$
ordonnée suivante	$y_{n + 1}$ $= y_{n} + h (a y_{n} + b)$ $= (1 + a h) y_{n} + h b$
nature de la suite	arithmético-géométrique ; géométrique de raison $1 + a h$ si $b = 0$
en Python	`y = y + h * (a * y + b)` répété dans une boucle `for`

Exemple : $y' = - 0, 4 y + 2$ , $y (0) = 0$ , $h = 0, 5$ : $y_{n + 1} = 0, 8 y_{n} + 1$ , donc $y_{1} = 1$ et $y_{2} = 1, 8$ .

Modèles et unités

Situation	Équation	Équilibre	Unité de $a$
désintégration, élimination	$y' = - k y$	$0$	inverse du temps
refroidissement (Newton)	$θ' = - k (θ - θ_{a})$	$θ_{a}$	inverse du temps
apport constant $D$ et élimination	$Q' = - k Q + D$	$\frac{D}{k}$	inverse du temps

Exemple : un apport de $8$ mg par heure et une élimination de coefficient $0, 2$ par heure : $Q' = - 0, 2 Q + 8$ , plateau $40$ mg.

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À propos de cette page

La fiche de révision des équations différentielles en tableaux : solutions de y′ = b, y′ = ay et y′ = ay + b, calcul de la constante C selon la condition initiale, allure des solutions selon les signes de a et de C, formules de la méthode d’Euler, modèles usuels (désintégration, refroidissement, apport et élimination) et unités. Elle se télécharge en PDF pour réviser avant un devoir.

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