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Fiche de révision : équations différentielles

Rappels sur l’exponentielle, notion de solution et vérification, équations y′ = ay et y′ = ay + b avec solution constante, condition initiale et allure des courbes, modélisation (équilibre, seuil), méthode d’Euler.

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Équations différentielles

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Analyse · Équations différentielles)

La démarche pour résoudre une équation différentielle

1. J’écris l’équation sous la forme $y' = a y + b$ et je lis $a$ et $b$ (en développant si besoin).

2. Je cherche la solution constante en résolvant $a c + b = 0$ (si $b = 0$ , c’est $0$ ).

3. J’écris toutes les solutions $x \mapsto C e^{a x} + c$ , « où $C$ est un réel quelconque ».

4. J’utilise la condition initiale pour trouver $C$ , puis je vérifie la valeur en $x_{0}$ et j’étudie le comportement (signe de $a C$ , limite).

Le réflexe — une solution générale sans la constante C, ou une constante ajoutée égale à b au lieu de −b/a, est la faute la plus fréquente : la solution constante se retrouve toujours en résolvant ac + b = 0.

Cas 1 · Dériver et isoler une exponentielle

Réflexe — (Ce^(ax+b))′ = aCe^(ax+b) ; pour isoler t, je divise par C, j’applique ln, je divise par a (sens changé si a < 0).

Exemple. Questions types : « Étudier le sens de variation », « Résoudre $f (t) = k$ ». Exemple : $f (t) = 9 - 4 e^{- 0, 5 t}$ ; variations, puis $f (t) = 8$ .

$f' (t)$ $= - 4 \times (- 0, 5) e^{- 0, 5 t}$ $= 2 e^{- 0, 5 t}$ $> 0$ : $f$ est strictement croissante.

$f (t)$ $= 8$ $⟺ 4 e^{- 0, 5 t}$ $= 1$ $⟺ e^{- 0, 5 t}$ $= 0, 25$ $⟺ - 0, 5 t$ $= \ln 0, 25$ .

Donc $t = 2 \ln 4 \approx 2, 77$ .

Attention — (e^(ax))′ = ae^(ax), pas e^a ni ae^x ; diviser une inégalité par un nombre négatif change son sens.

Cas 2 · Vérifier qu’une fonction est solution

Réflexe — je calcule f′(x), puis af(x) + b à part, et je compare pour tout x ; une seule valeur fausse suffit pour dire « non ».

Exemple. Questions types : « Montrer que $f$ est solution de $(E)$ ». Exemple : $f (x) = 3 e^{2 x} - 1, 5$ et $(E) : y' = 2 y + 3$ .

D’une part, $f' (x) = 6 e^{2 x}$ .

D’autre part, $2 f (x) + 3 = 6 e^{2 x} - 3 + 3 = 6 e^{2 x}$ .

Pour tout réel $x$ , $f' (x) = 2 f (x) + 3$ : $f$ est solution de $(E)$ .

Attention — l’égalité vérifiée en un seul point ne prouve rien : il faut « pour tout x ».

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Cas 3 · Résoudre y′ = ay

Réflexe — solutions x ↦ Ce^(ax) ; C = f(0), ou Ce^(ax₀) = y₀ si la condition est en x₀.

Exemple. Questions types : « Résoudre $(E)$ », « Déterminer la solution telle que… ». Exemple : $y' = - 1, 2 y$ avec $f (1) = 5$ .

Les solutions sont les $x \mapsto C e^{- 1, 2 x}$ , $C \in ℝ$ .

$f (1) = C e^{- 1, 2} = 5$ donne $C = 5 e^{1, 2}$ .

Donc $f (x)$ $= 5 e^{1, 2} e^{- 1, 2 x}$ $= 5 e^{- 1, 2 (x - 1)}$ ; vérification : $f (1) = 5$ .

Attention — a va dans l’exposant, la valeur initiale devant : pas d’inversion.

Cas 4 · Résoudre y′ = ay + b avec une condition

Réflexe — solution constante c (ac + b = 0), solutions Ce^(ax) + c, puis C par la condition initiale.

Exemple. Questions types : « Déterminer la solution constante », « En déduire les solutions », « Déterminer $f$ telle que $f (0) = \dots$ ». Exemple : $y' = 2 y - 5$ avec $f (0) = 1$ .

$2 c - 5 = 0$ donne $c = 2, 5$ : les solutions sont les $x \mapsto C e^{2 x} + 2, 5$ .

$f (0) = C + 2, 5 = 1$ donne $C = - 1, 5$ , donc $f (x) = 2, 5 - 1, 5 e^{2 x}$ .

$a > 0$ et $C < 0$ : $f$ est décroissante et tend vers $- \infty$ en $+ \infty$ .

Attention — la constante est −b/a, pas b ; C dépend de la condition, −b/a de l’équation seule.

Cas 5 · Modéliser, puis trouver un seuil

Réflexe — grandeur et unités, « proportionnelle à » traduit sur y′, forme y′ = ay + b, valeur initiale ; seuil par ln, conclusion avec l’unité.

Exemple. Questions types : « Justifier que $θ$ est solution de… », « Au bout de combien de temps… ». Exemple : un gâteau à $170$ °C refroidit dans une cuisine à $20$ °C, coefficient $0, 05$ par minute. Quand passe-t-il sous $40$ °C ?

$θ'$ $= - 0, 05 (θ - 20)$ $= - 0, 05 θ + 1$ , équilibre $20$ , $θ (0) = 170$ : $θ (t) = 150 e^{- 0, 05 t} + 20$ .

$θ (t)$ $< 40$ $⟺ e^{- 0, 05 t}$ $< \frac{2}{15}$ $⟺ t$ $> 20 \ln 7, 5$ $\approx 40, 3$ .

Le gâteau passe sous $40$ °C au bout d’environ $40, 3$ minutes.

Attention — une grandeur qui diminue donne un coefficient négatif ; l’équilibre n’est jamais atteint.

Cas 6 · Méthode d’Euler

Réflexe — yₙ₊₁ = yₙ + h(ayₙ + b) = (1 + ah)yₙ + hb ; je calcule pas à pas.

Exemple. Questions types : « Calculer $y_{1}$ et $y_{2}$ », « Compléter le programme », « Comparer à la valeur exacte ». Exemple : $y' = 0, 2 y + 1$ , $y (0) = 5$ , pas $h = 0, 5$ .

$y_{n + 1}$ $= y_{n} + 0, 5 (0, 2 y_{n} + 1)$ $= 1, 1 y_{n} + 0, 5$ .

$y_{1} = 1, 1 \times 5 + 0, 5 = 6$ ; $y_{2} = 1, 1 \times 6 + 0, 5 = 7, 1$ .

$y_{2}$ est une valeur approchée de $f (1)$ .

Attention — h multiplie toute la dérivée ayₙ + b ; les yₙ sont des valeurs approchées.

Les pièges

La constante n’est pas b : y′ = −0,8y + 6 a pour solution constante 7,5, pas 6.
Le signe de −b/a : il est positif quand a et b sont de signes contraires.
Résoudre sans condition initiale : la réponse garde la constante C, « réel quelconque ».
Valeur initiale f(0) et valeur limite −b/a sont deux nombres différents ; la limite n’est jamais atteinte.
e^(a(x − 1)) = e^(ax)e^(−a), jamais e^(ax) − e^a.
Unités : a en « par unité de temps », et une phrase de conclusion avec l’unité.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour résoudre une équation différentielle, puis, pour chacun des six cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : dériver et isoler une exponentielle, vérifier une solution, résoudre y′ = ay, résoudre y′ = ay + b avec une condition initiale, modéliser puis trouver un seuil, appliquer la méthode d’Euler. Les pièges fréquents sont listés à la fin.

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