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Fonction exponentielle
Définition, propriétés algébriques et applications de la fonction exponentielle (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Fonction exponentielle » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels et motivation : la croissance exponentielle, Définition et caractérisation de la fonction exponentielle, Propriétés algébriques de l'exponentielle, Dérivée de la fonction exponentielle et applications. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Rappels et motivation : la croissance exponentielle
En classe de Première, on a étudié des suites géométriques de raison $q$ : une population qui double chaque année suit $u_n = u_0 \times 2^n$. La fonction exponentielle est l'outil continu correspondant : elle permet de modéliser des phénomènes dont le taux de variation est proportionnel à la valeur courante.
Exemple. Une culture bactérienne passe de $1000$ à $2000$ bactéries en 1 heure, de $2000$ à $4000$ en 2 heures, etc. Le nombre de bactéries au temps $t$ (en heures) est $N(t) = 1000 \times 2^t$. Pour passer au modèle continu, on écrit $2^t = e^{t \ln 2}$, ce qui fait apparaître la fonction exponentielle.
Plus généralement, tout phénomène de croissance ou décroissance exponentielle s'exprime à l'aide de $e^{\alpha t}$ où $\alpha$ est un coefficient caractéristique.
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Définition et caractérisation de la fonction exponentielle
Définition. Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :
$$f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, où $e \approx 2{,}718…$ est le nombre d'Euler.
$$f' = f \quad \text{et} \quad f(0) = 1$$
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et se note $\exp$ ou $x \mapsto e^x$, où $e \approx 2{,}718…$ est le nombre d'Euler.
Cette caractérisation est fondamentale : la fonction exponentielle est l'unique solution de l'équation différentielle $y' = y$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.
Astuce. Pour vérifier qu'une fonction est égale à $e^x$, il suffit de montrer qu'elle est dérivable, qu'elle est égale à sa propre dérivée, et qu'elle vaut $1$ en $0$.
Exemple. Posons $g(x) = e^x$. Alors $g'(x) = e^x = g(x)$ et $g(0) = e^0 = 1$. Ces deux propriétés caractérisent entièrement $g$.
On pose $e = e^1 \approx 2{,}71828…$ Il s'agit d'un réel irrationnel transcendant.
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Propriétés algébriques de l'exponentielle
Propriétés algébriques. Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$e^{a+b} = e^a \times e^b$$
$$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$$
$$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$$
$$(e^a)^n = e^{na} \quad (n \in \mathbb{Z})$$
$$e^0 = 1 \quad ; \quad e^1 = e$$
$$e^{a+b} = e^a \times e^b$$
$$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$$
$$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$$
$$(e^a)^n = e^{na} \quad (n \in \mathbb{Z})$$
$$e^0 = 1 \quad ; \quad e^1 = e$$
Astuce. Ces règles sont les mêmes que pour les puissances de n'importe quel réel strictement positif. Retenir : « l'exponentielle transforme une somme en produit ».
Exemple 1. Simplifier $A = e^{3x} \times e^{-x}$.
$A = e^{3x + (-x)} = e^{2x}$.
$A = e^{3x + (-x)} = e^{2x}$.
Exemple 2. Simplifier $B = \dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-1}}$.
$B = e^{(2x+1)-(x-1)} = e^{x+2}$.
$B = e^{(2x+1)-(x-1)} = e^{x+2}$.
Attention ! Il ne faut pas confondre $e^{a+b} = e^a \times e^b$ et $e^{a \times b} = (e^a)^b$. En particulier : $e^{x^2} \neq (e^x)^2 = e^{2x}$. De même, $e^{2x} \neq 2e^x$.
| Expression | Simplification |
|---|---|
| $e^a \cdot e^b$ | $e^{a+b}$ |
| $\dfrac{e^a}{e^b}$ | $e^{a-b}$ |
| $(e^a)^n$ | $e^{na}$ |
| $e^{-a}$ | $\dfrac{1}{e^a}$ |
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Dérivée de la fonction exponentielle et applications
Dérivée. La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est elle-même :
$$\left(e^x\right)' = e^x$$
Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors :
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
$$\left(e^x\right)' = e^x$$
Plus généralement, si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors :
$$\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$$
Exemple 1. Calculer la dérivée de $f(x) = e^{2x-3}$.
On pose $u(x) = 2x-3$, donc $u'(x) = 2$.
$f'(x) = 2 \cdot e^{2x-3}$.
On pose $u(x) = 2x-3$, donc $u'(x) = 2$.
$f'(x) = 2 \cdot e^{2x-3}$.
Exemple 2. Calculer la dérivée de $g(x) = e^{x^2}$.
On pose $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$.
$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$.
On pose $u(x) = x^2$, donc $u'(x) = 2x$.
$g'(x) = 2x \cdot e^{x^2}$.
Exemple 3. Calculer la dérivée de $h(x) = (x+1)e^x$.
On utilise la règle du produit : $h'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$.
On utilise la règle du produit : $h'(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$.
Astuce. Puisque $e^{u(x)} \gt 0$ pour tout $x$, le signe de $(e^{u(x)})'$ est celui de $u'(x)$. Cela simplifie l'étude des variations.
Attention ! La règle de composition s'applique : $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$. On n'oublie jamais de dériver $u$ !
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Variations et représentation graphique
Puisque $e^x \gt 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, la dérivée de $f(x) = e^x$ est strictement positive : la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
| $x$ | $-\infty$ | $0$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x) = e^x$ | $+$ | $+$ | $+$ | ||
| $f(x) = e^x$ | $0^+$ | ↗ | $1$ | ↗ | $+\infty$ |
Valeurs remarquables à connaître :
$e^0 = 1$, $e^1 = e \approx 2{,}718$, $e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368$, $e^2 \approx 7{,}389$.
Exemple. La tangente à la courbe en $x = 0$ a pour coefficient directeur $f'(0) = e^0 = 1$ et passe par $(0, 1)$ : son équation est $y = x + 1$.
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Limites et comparaison avec les fonctions puissance
Limites fondamentales.
$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$
Croissances comparées : Pour tout entier $n \geq 0$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
$$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$$
Croissances comparées : Pour tout entier $n \geq 0$ :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
Ces résultats signifient que l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme en $+\infty$, et que $x^n e^{-x} \to 0$ en $+\infty$ : l'exponentielle décroissante l'emporte sur tout polynôme en $+\infty$.
Exemple 1. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 1}{e^x} = 0$ (car $e^x$ l'emporte sur $x^2$).
Exemple 2. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x$ — forme $(-\infty) \times 0$. On écrit $x^3 e^x = \frac{x^3}{e^{-x}}$. Or $\lim_{x\to -\infty} \frac{x^3}{e^{-x}} = 0$ par croissances comparées (en posant $X = -x \to +\infty$ : $\frac{(-X)^3}{e^X} \to 0$). Donc la limite est $0$.
Astuce. Pour une limite en $-\infty$ d'une forme avec $e^x$, poser $X = -x$ pour se ramener à une limite en $+\infty$.
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Équations et inéquations avec des exponentielles
Injectivité. La fonction exponentielle est injective (strictement croissante) :
$$e^a = e^b \iff a = b$$
$$e^a \lt e^b \iff a \lt b$$
$$e^a = e^b \iff a = b$$
$$e^a \lt e^b \iff a \lt b$$
Ces propriétés permettent de résoudre des équations et inéquations exponentielles.
Exemple 1. Équation. Résoudre $e^{2x-1} = e^{x+3}$.
$e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$.
L'équation a une unique solution : $x = 4$.
$e^{2x-1} = e^{x+3} \iff 2x - 1 = x + 3 \iff x = 4$.
L'équation a une unique solution : $x = 4$.
Exemple 2. Inéquation. Résoudre $e^{3x} \lt e^{x+2}$.
$e^{3x} \lt e^{x+2} \iff 3x \lt x + 2 \iff 2x \lt 2 \iff x \lt 1$.
L'ensemble des solutions est $]-\infty ; 1[$.
$e^{3x} \lt e^{x+2} \iff 3x \lt x + 2 \iff 2x \lt 2 \iff x \lt 1$.
L'ensemble des solutions est $]-\infty ; 1[$.
Exemple 3. Équation avec changement de variable. Résoudre $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$.
On pose $X = e^x$ (donc $X \gt 0$) :
$X^2 - 3X + 2 = 0 \iff (X-1)(X-2) = 0 \iff X = 1$ ou $X = 2$.
$e^x = 1 \iff x = 0$ ou $e^x = 2 \iff x = \ln 2$.
Solutions : $x = 0$ ou $x = \ln 2$.
On pose $X = e^x$ (donc $X \gt 0$) :
$X^2 - 3X + 2 = 0 \iff (X-1)(X-2) = 0 \iff X = 1$ ou $X = 2$.
$e^x = 1 \iff x = 0$ ou $e^x = 2 \iff x = \ln 2$.
Solutions : $x = 0$ ou $x = \ln 2$.
Attention ! Lors d'un changement de variable $X = e^x$, on a toujours $X \gt 0$ : il faut éliminer toute solution négative ou nulle obtenue pour $X$.
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Modélisation et applications
La fonction exponentielle apparaît naturellement dans de nombreux modèles de phénomènes réels.
Modèles classiques.
• Croissance exponentielle : $f(t) = A \cdot e^{\alpha t}$ avec $\alpha \gt 0$ (population, intérêts continus).
• Décroissance exponentielle : $f(t) = A \cdot e^{-\alpha t}$ avec $\alpha \gt 0$ (désintégration radioactive, refroidissement).
• Temps de demi-vie : durée $T$ telle que $f(t+T) = \frac{1}{2} f(t)$, soit $e^{-\alpha T} = \frac{1}{2}$, d'où $T = \frac{\ln 2}{\alpha}$.
• Croissance exponentielle : $f(t) = A \cdot e^{\alpha t}$ avec $\alpha \gt 0$ (population, intérêts continus).
• Décroissance exponentielle : $f(t) = A \cdot e^{-\alpha t}$ avec $\alpha \gt 0$ (désintégration radioactive, refroidissement).
• Temps de demi-vie : durée $T$ telle que $f(t+T) = \frac{1}{2} f(t)$, soit $e^{-\alpha T} = \frac{1}{2}$, d'où $T = \frac{\ln 2}{\alpha}$.
Exemple — Radioactivité. Un échantillon radioactif contient $N(t) = N_0 e^{-0{,}02t}$ atomes après $t$ années. Trouver la demi-vie.
On cherche $T$ tel que $N(T) = \frac{N_0}{2}$ :
$e^{-0{,}02T} = \frac{1}{2} \iff -0{,}02T = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 \iff T = \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7$ années.
On cherche $T$ tel que $N(T) = \frac{N_0}{2}$ :
$e^{-0{,}02T} = \frac{1}{2} \iff -0{,}02T = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 \iff T = \frac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7$ années.
Exemple — Étude de fonction. Étudier $f(x) = (2x-1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x$.
Signe de $f'$ : $e^x \gt 0$ toujours, donc $f'(x) \lt 0 \iff 2x+1 \lt 0 \iff x \lt -\frac{1}{2}$.
$f$ est décroissante sur $\left]-\infty ; -\frac{1}{2}\right]$, croissante sur $\left[-\frac{1}{2} ; +\infty\right[$. Minimum : $f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -2e^{-1/2}$.
$f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x$.
Signe de $f'$ : $e^x \gt 0$ toujours, donc $f'(x) \lt 0 \iff 2x+1 \lt 0 \iff x \lt -\frac{1}{2}$.
$f$ est décroissante sur $\left]-\infty ; -\frac{1}{2}\right]$, croissante sur $\left[-\frac{1}{2} ; +\infty\right[$. Minimum : $f\!\left(-\frac{1}{2}\right) = -2e^{-1/2}$.
À retenir
- La fonction $e^x$ est l'unique solution de $f' = f$ avec $f(0) = 1$.
- Propriétés : $e^{a+b} = e^a e^b$, $e^{-a} = 1/e^a$, $e^0 = 1$.
- Dérivée : $(e^x)' = e^x$ et $(e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}$.
- $e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc $e^a = e^b \iff a = b$.
- Limites : $\lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty$, $\lim_{x\to-\infty} e^x = 0$.
- Croissances comparées : $e^x$ l'emporte sur tout polynôme en $+\infty$.
- Modélisation : $A e^{\alpha t}$ (croissance si $\alpha \gt 0$, décroissance si $\alpha \lt 0$).
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