Fonction logarithme népérien

Simplifier. $A={\displaystyle \frac{e^{5x}\times e^{-2x}}{e^{x-1}}}$ $={\displaystyle \frac{e^{3x}}{e^{x-1}}}$ $=e^{3x-(x-1)}$ $=e^{2x+1}$.

Équation. $e^{2x-3}=e^{x+1}⟺2x-3=x+1$ $⟺x=4$.

Inéquation. $e^{1-x}>e^{2x+7}⟺1-x>2x+7$ $⟺-6>3x⟺x<-2$ : $𝒮=]-\infty ;-2[$.

Signe d’un produit. $f(x)=(x-3)e^x$ : comme $e^x>0$, $f(x)$ a le signe de $x-3$, négatif sur $]-\infty ;3[$ et positif sur $]3;+\infty [$.

Suite géométrique. $w_n=e^{0,15n}={\left(e^{0,15}\right)}^n$ : raison $e^{0,15}\approx 1,16>1$, la suite $(w_n)$ est croissante.

Ce qui manque encore. Résoudre $e^x=5$, où $5$ n’est pas écrit sous la forme d’une exponentielle : c’est le rôle du logarithme.

Valeurs exactes. $\ln \left(e^{-6}\right)=-6$ ; $e^{\ln 0,4}=0,4$ ; $\ln x=-1⟺x=e^{-1}$, avec $e^{-1}\approx 0,368$.

Équation $e^x=k$. $e^x=9⟺x=\ln 9$, avec $\ln 9\approx 2,197$. En revanche, $e^x=-4$ n’a aucune solution.

À la calculatrice. La touche ln donne $\ln 5\approx 1,609$. Contrôle : $e^{1,609}\approx 4,998$, très proche de $5$.

Lire sur les courbes. Le point $(2;e^2)$ est sur la courbe de $\exp$, donc le point $(e^2;2)$ est sur celle de $\ln$ : c’est l’égalité $\ln \left(e^2\right)=2$. Sur la figure, $(1;e)$ et $(e;1)$ se correspondent de la même façon.

Démonstration de $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. D’après les propriétés de l’exponentielle, $e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\times e^{\ln b}=ab$. Le réel $\ln a+\ln b$ a donc pour exponentielle $ab$ : par définition du logarithme, c’est $\ln (ab)$.

Démonstration de $\ln {\displaystyle \frac{1}{a}}=-\ln a$. Avec la relation précédente : $\ln a+\ln {\displaystyle \frac{1}{a}}=\ln (a\times {\displaystyle \frac{1}{a}})$ $=\ln 1=0$, donc $\ln {\displaystyle \frac{1}{a}}=-\ln a$. Le quotient s’en déduit : $\ln {\displaystyle \frac{a}{b}}=\ln (a\times {\displaystyle \frac{1}{b}})$ $=\ln a-\ln b$.

Puissance et racine. Pour $n⩾1$, $\ln \left(a^n\right)=\ln (a\times a\times \cdots \times a)$ $=\ln a+\cdots +\ln a=n\ln a$ ; pour $n$ négatif, on passe par l’inverse. Comme ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, on a $2\ln \sqrt{a}=\ln a$.

Valeurs approchées. $12=2^2\times 3$, donc $\ln 12=2\ln 2+\ln 3\approx 2,485$ ; $\ln \sqrt{10}\approx 1,151$.

Regrouper. $\ln 63-2\ln 3=\ln 63-\ln 9$ $=\ln {\displaystyle \frac{63}{9}}=\ln 7$.

Mêler $\ln$ et $e$. $\ln \left(4e^3\right)=\ln 4+\ln \left(e^3\right)$ $=2\ln 2+3$.

Démonstration de $(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$ (en admettant que $\ln$ est dérivable). Pour tout $x>0$, $e^{\ln x}=x$. On dérive les deux membres ; à gauche, c’est la forme $e^u$ avec $u=\ln x$ : $(\ln x{)}^{\prime }\times e^{\ln x}=1$, soit $(\ln x{)}^{\prime }\times x=1$. Comme $x\ne 0$, $(\ln x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Tableau de variations de $\ln$.

Démontrer que $\ln x⩽x-1$. Soit $\phi (x)=\ln x-x+1$ sur $]0;+\infty [$. $\phi \prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x}}-1={\displaystyle \frac{1-x}{x}}$, du signe de $1-x$ car $x>0$ : $\phi$ est croissante sur $]0;1]$, décroissante sur $[1;+\infty [$, de maximum $\phi (1)=0$. Donc $\phi (x)⩽0$, c’est-à-dire $\ln x⩽x-1$, pour tout $x>0$.

Limite d’une composée. Quand $x$ tend vers ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ par valeurs supérieures, $3x-2$ tend vers $0$ en restant positif, donc $\ln (3x-2)$ tend vers $-\infty$.

Étudier une fonction avec $\ln (ax+b)$. $h(x)=\ln (2x+1)-x$ est définie pour $2x+1>0$, soit sur $]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$. $h\prime (x)={\displaystyle \frac{2}{2x+1}}-1={\displaystyle \frac{1-2x}{2x+1}}$ : le dénominateur est strictement positif, donc $h\prime (x)$ a le signe de $1-2x$. $h$ est croissante sur $]-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}]$, décroissante sur $[{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$, et son maximum vaut $h\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\approx 0,193$.

Une croissance très lente. $\ln \left({10}^6\right)=6\ln 10\approx 13,8$. Pour que $\ln x$ dépasse $50$, il faut $x>e^{50}$, soit environ $5,2\times {10}^{21}$.

Tangente au point d’abscisse $e^2$. $\ln \left(e^2\right)=2$ et le nombre dérivé vaut ${\displaystyle \frac{1}{e^2}}$ : $y={\displaystyle \frac{1}{e^2}}(x-e^2)+2$, soit $y={\displaystyle \frac{x}{e^2}}+1$.

Équation $\ln u=k$. $\ln (4x-1)=2$. Elle a un sens si $4x-1>0$, soit $x>{\displaystyle \frac{1}{4}}$. Alors $4x-1=e^2$, donc $x={\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}\approx 2,097$, qui est bien supérieur à ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ : $𝒮=\left\{{\displaystyle \frac{e^2+1}{4}}\right\}$.

Équation $e^u=k$. $7>0$, donc $e^x=7⟺x=\ln 7$, avec $\ln 7\approx 1,946$.

Inéquation $\ln u>k$. $\ln x>3⟺x>e^3$, avec $e^3\approx 20,09$ ; la condition $x>0$ est alors automatiquement vérifiée.

Deux logarithmes. $\ln (x-1)⩾\ln (5-x)$. Conditions : $x-1>0$ et $5-x>0$, soit $1<x<5$. Sur cet intervalle, $\ln$ étant strictement croissante : $x-1⩾5-x⟺x⩾3$. $𝒮=[3;5[$.

Changement de variable. $e^{2x}-e^x-6=0$. On pose $X=e^x>0$ : $X^2-X-6=0$, soit $(X-3)(X+2)=0$. $X=-2$ est impossible car $X>0$ ; $e^x=3$ donne $x=\ln 3$. $𝒮=\{\ln 3\}$.

Croissance. À $5\%$ par an, $q=1,05$ et ${\displaystyle \frac{\ln 2}{\ln 1,05}}\approx 14,2$ : la grandeur a doublé au bout de $15$ ans (et pas $14$).

Décroissance. Plus petit entier $n$ tel que $0,8^n<0,03$. $0,8^n<0,03⟺n\ln 0,8<\ln 0,03$ $⟺n>{\displaystyle \frac{\ln 0,03}{\ln 0,8}}$ : le sens change car $\ln 0,8<0$. Or ${\displaystyle \frac{\ln 0,03}{\ln 0,8}}\approx 15,71$, donc $n=16$. Contrôle : $0,8^{15}\approx 0,035$ et $0,8^{16}\approx 0,028$.

Le même seuil en Python.

def seuil():
    n = 0
    p = 1
    while p >= 0.03:
        p = 0.8 * p
        n = n + 1
    return n

L’appel seuil() renvoie $16$.

Demi-vie. Pour $N(t)=500e^{-0,04t}$ : $N(t+T)=N(t)\times e^{-0,04T}$. Il faut $e^{-0,04T}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit $-0,04T=-\ln 2$, et $T={\displaystyle \frac{\ln 2}{0,04}}\approx 17,3$.