La proportionnalité

Reconnaître une situation de proportionnalité et son coefficient ; compléter un tableau avec le coefficient, les propriétés multiplicative et additive ou le passage à l’unité ; utiliser l’échelle d’un plan ou d’une carte

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La proportionnalité

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Organisation et gestion de données · Proportionnalité)

La démarche pour un problème de proportionnalité

1. Je vérifie. La situation est-elle proportionnelle ? Je calcule le quotient dans chaque colonne, ou je me demande si doubler l'une double l'autre.

2. Je choisis l'outil. Un lien simple entre les nombres (double, moitié, somme) : les propriétés. Sinon : le passage à l'unité ou le coefficient.

3. Je rédige et je contrôle. J'écris le calcul avec l'unité, puis je vérifie que le résultat est vraisemblable.

Le réflexe — le passage à l'unité marche toujours : je calcule la valeur pour 1, puis je multiplie.

Cas 1 · Reconnaître la proportionnalité

Réflexe — je calcule le quotient « 2e ligne ÷ 1re ligne » dans toutes les colonnes ; s'ils sont tous égaux, c'est le coefficient.

Exemple. Le tableau $4 \to 10$ ; $6 \to 15$ ; $10 \to 25$ est-il de proportionnalité ?

$10 \div 4 = 2, 5$ ; $15 \div 6 = 2, 5$ ; $25 \div 10 = 2, 5$ .

Tous les quotients sont égaux : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient $2, 5$ .

Attention — un prix avec un montant fixe (abonnement, prise en charge) n'est pas proportionnel : vérifie que doubler la quantité double le prix.

Cas 2 · Compléter un tableau de proportionnalité

Réflexe — je cherche un lien entre les nombres de la 1re ligne (× , ÷ , + , −) ; sinon, je passe par l'unité.

Exemple. $6$ m de corde coûtent $4, 20$ €. Combien coûtent $9$ m ?

Avec les propriétés : $3$ m, c'est la moitié de $6$ m : $4, 20 \div 2 = 2, 10$ €. Et $9 = 6 + 3$ : $4, 20 + 2, 10 = 6, 30$ €.

Par l'unité : $4, 20 \div 6 = 0, 70$ € le mètre, puis $9 \times 0, 70 = 6, 30$ €.

Attention — on n'ajoute jamais le même nombre aux deux lignes : on multiplie, on divise, ou on additionne deux colonnes.

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Cas 3 · Utiliser une échelle

Réflexe — échelle $1 / n$ : réel $=$ plan $\times n$ ; plan $=$ réel $\div n$ , avec les deux longueurs en cm.

Exemple 1. Carte à l'échelle $1 / 250 000$ . Que représentent $4$ cm ? Combien mesurent $35$ km sur la carte ?

$4 \times 250 000 = 1 000 000$ cm, soit $10$ km.

$35$ km $= 3 500 000$ cm, puis $3 500 000 \div 250 000 = 14$ cm.

Exemple 2. Sur un plan, $6$ cm représentent $30$ m. Quelle est l'échelle ?

$30$ m $= 3 000$ cm, puis $3 000 \div 6 = 500$ : l'échelle est $1 / 500$ .

Attention — à $1 / n$ , 1 cm représente $n$ cm (pas $n$ m) : je convertis à la fin.

Les pièges

Conclure après deux colonnes : il faut vérifier toutes les colonnes.
« Ils augmentent ensemble, donc c'est proportionnel » : faux (âge et taille).
Plus d'ouvriers, moins de jours : ce n'est pas une situation de proportionnalité.
Diviser des km par $n$ : on convertit d'abord la distance réelle en cm.

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