Les probabilités

Le vocabulaire du hasard (expérience aléatoire, issue, événement certain, possible, impossible), l’échelle des probabilités de 0 à 1, le calcul d’une probabilité en fraction quand les issues ont la même chance, et le lien entre fréquence et probabilité

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Les probabilités

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Organisation et gestion de données, probabilités)

La démarche pour calculer une probabilité

1. Je liste les issues. Je compte le nombre total d’issues de l’expérience.

2. Je vérifie l’équiprobabilité. Les issues ont-elles toutes la même chance (objet équilibré, parts égales, tirage au hasard) ?

3. Je compte les issues favorables et j’écris $\frac{favorables}{total}$ , que je simplifie si possible.

4. Je contrôle. Le résultat est entre $0$ et $1$ ; la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ .

Le réflexe — avant d’écrire une fraction, je vérifie que toutes les issues ont la même chance : sinon, je compte des parts égales.

Étape 1 · Certain, possible ou impossible

Réflexe — je compte les issues favorables : toutes → certain ; aucune → impossible ; sinon → possible.

Exemple. Un sac contient $3$ jetons : un carré, un rond, un triangle. On en tire un. Classer « tirer un rond », « tirer une étoile », « tirer une forme géométrique ».

« Tirer un rond » : $1$ issue favorable sur $3$ , possible.

« Tirer une étoile » : aucune issue favorable, impossible.

« Tirer une forme géométrique » : les $3$ issues conviennent, certain.

Attention — « possible » ne veut pas dire « probable ».

Étape 2 · Placer un événement sur l’échelle

Réflexe — impossible → $0$ ; certain → $1$ ; une chance sur deux → $\frac{1}{2}$ ; plus d’issues favorables → plus à droite.

Exemple. Une boîte contient $5$ crayons : $4$ bleus et $1$ vert. Placer « tirer un crayon bleu » et « tirer le crayon vert ».

Bleu : $\frac{4}{5}$ , plus grand que $\frac{1}{2}$ , près de $1$ : très probable.

Vert : $\frac{1}{5}$ , plus petit que $\frac{1}{2}$ , près de $0$ : peu probable.

Attention — une probabilité est toujours entre $0$ et $1$ .

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Étape 3 · Calculer une probabilité

Réflexe — en équiprobabilité : probabilité $= \frac{issues favorables}{nombre total d’issues}$ ; « ne pas » : $1$ moins la probabilité.

Exemple. Un sac contient $15$ perles : $7$ blanches, $5$ dorées et $3$ noires. Probabilité de tirer une perle dorée ? de ne pas tirer une perle noire ?

Dorée : $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .

Pas noire : $7 + 5 = 12$ perles, $\frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ . Contrôle : $1 - \frac{3}{15} = \frac{12}{15}$ .

Attention — le dénominateur est le nombre total d’issues. Sans équiprobabilité (parts inégales), on compte des parts égales.

Étape 4 · Fréquence et probabilité

Réflexe — fréquence $= \frac{nombre de fois où l’issue est sortie}{nombre d’essais}$ ; sur beaucoup d’essais, elle se rapproche de la probabilité.

Exemple. Un dé est lancé $50$ fois ; le $3$ sort $9$ fois. Fréquence du $3$ ?

$\frac{9}{50} = \frac{18}{100} = 0, 18$ .

La probabilité est $\frac{1}{6}$ , soit environ $0, 17$ : la fréquence en est proche.

Attention — peu d’essais ne suffisent pas pour dire qu’un dé est truqué.

Les pièges

Deux couleurs ne veulent pas dire $\frac{1}{2}$ : tout dépend du nombre d’objets ou de la taille des parts.
On divise par le nombre total d’issues, pas par le nombre d’issues défavorables.
Une issue (« obtenir $2$ ») n’est pas un événement qui en regroupe plusieurs (« obtenir un nombre pair »).
Une probabilité supérieure à $1$ ou négative signale une erreur.

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