Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue

Motifs évolutifs et suites de nombres (étape suivante, règle directe en mots puis avec une lettre, étape lointaine), programmes de calcul ; problèmes « je pense à un nombre » résolus par essais, par opérations inverses ou par un schéma en barres ; égalités à trou

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benprofparticulier.frMathématiques · 6ᵉ

Initiation à la pensée algébrique

Fiche méthode

(Mathématiques 6ᵉ · Nombres et calculs · Pensée algébrique)

La démarche pour un motif ou un nombre inconnu

1. J’observe. J’écris les écarts entre deux étapes, ou je repère les opérations du programme et leur ordre.

2. Je calcule. Avec la règle directe pour aller loin ; avec les opérations inverses (ou un schéma en barres) pour retrouver un nombre inconnu.

3. Je vérifie. Je remets le résultat dans la règle, dans le programme ou dans l’égalité.

Le réflexe — un nombre trouvé se vérifie toujours en le remettant dans l’énoncé : si l’égalité est fausse, je recommence.

Cas 1 · Motifs évolutifs

Réflexe — écarts égaux → règle directe « écart $\times n$ + nombre fixe », le nombre fixe se trouve avec l’étape 1 ; pour aller du nombre à l’étape, je défais la règle à l’envers.

Exemple. Étape 1 : $6$ carreaux ; étape 2 : $10$ ; étape 3 : $14$ . Combien de carreaux à l’étape $50$ ? Quelle étape a $86$ carreaux ?

Écart $4$ ; à l’étape 1 : $4 \times 1 = 4$ , il manque $2$ . Règle directe : $4 \times n + 2$ .

Étape $50$ : $4 \times 50 + 2 = 202$ carreaux.

$86$ carreaux : $86 - 2 = 84$ , puis $84 \div 4 = 21$ . C’est l’étape $21$ (contrôle : $4 \times 21 + 2 = 86$ ).

Attention — ne pas oublier le nombre fixe : $4 \times n$ seul donnerait $4$ carreaux à l’étape 1, pas $6$ .

Cas 2 · Je pense à un nombre

Réflexe — je pars du résultat et je défais les opérations dans l’ordre inverse ; avec des parts, je dessine un schéma en barres.

Exemple 1. « Je retire $4$ à un nombre, je multiplie par $5$ et j’obtiens $35$ . »

Je défais d’abord « $\times 5$ » : $35 \div 5 = 7$ . Puis « $- 4$ » : $7 + 4 = 11$ .

Vérification : $11 - 4 = 7$ , puis $7 \times 5 = 35$ .

Exemple 2. Deux sœurs ont $30$ € à elles deux ; l’aînée a $6$ € de plus que la cadette.

Barres : cadette | cadette | $6$ . $30 - 6 = 24$ , puis $24 \div 2 = 12$ .

La cadette a $12$ €, l’aînée $18$ € ( $12 + 18 = 30$ ).

Attention — « $6$ de plus » ajoute un morceau ( $+ 6$ ) ; « $6$ fois plus » répète la part ( $\times 6$ ).

Les pièges

Remonter un programme dans l’ordre de l’énoncé : la dernière opération se défait en premier.
Compter étape par étape jusqu’à l’étape $100$ : on utilise la règle directe.
$2 \times n + 1$ et $2 \times (n + 1)$ ne sont pas égaux : les parenthèses se calculent d’abord.
Un nombre peut être impossible dans un motif : la division « à l’envers » ne tombe pas juste.

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