Qu'est-ce qu'un motif évolutif en maths ?

C'est une suite de figures ou de nombres qui grandit selon une règle fixe : par exemple 3, 5, 7, 9… (on ajoute 2 à chaque rang). Décrire la règle permet de trouver n'importe quel rang sans tout dessiner.

Comment trouver le terme de rang 50 d'une suite ?

On cherche une règle qui relie directement le rang au nombre. Si la suite 4, 7, 10, 13… augmente de 3 à chaque rang et commence à 4, le terme de rang n vaut 3 × n + 1 ; au rang 50, cela donne 151.

Comment résoudre un problème « je pense à un nombre » ?

On remonte le programme de calcul à l'envers en appliquant les opérations inverses, en commençant par la dernière opération : si « × 3 puis + 4 » donne 25, on calcule 25 − 4 = 21, puis 21 ÷ 3 = 7.

Pourquoi utiliser une lettre pour un nombre inconnu ?

La lettre (ou un symbole comme une case vide) remplace le nombre qu'on cherche et permet d'écrire l'égalité du problème, par exemple $n + 12 = 30$. On peut ensuite tester des valeurs ou utiliser l'opération inverse.

Collège · 6ᵉ · Mathématiques

Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue

Décrire la règle d'une suite de motifs ou de nombres, trouver un terme lointain, résoudre des problèmes « je pense à un nombre », égalités à trous et nombre inconnu représenté par une lettre (programme de 6e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Des figures qui grandissent : les motifs évolutifs, Suites de nombres : trouver la règle, Aller loin sans tout dessiner : rang et terme, « Je pense à un nombre » : remonter un programme de calcul. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.

Des figures qui grandissent : les motifs évolutifs

Un motif évolutif est une suite de figures construites avec la même règle : la figure de rang 1, puis celle de rang 2, de rang 3… Chaque figure est obtenue à partir de la précédente en ajoutant toujours la même chose.

Exemple. On aligne des triangles avec des allumettes.
Rang 1 : un triangle,

3

allumettes. Rang 2 : deux triangles collés,

5

allumettes. Rang 3 : trois triangles,

7

allumettes.
À chaque rang, on ajoute 2 allumettes (un nouveau triangle partage un côté avec le précédent).

Rang	1	2	3	4	5
Allumettes	3	5	7	9	11

Décrire un motif, c'est répondre à deux questions :
• Comment passe-t-on d'un rang au suivant ? (ici : on ajoute

2

)
• Comment calculer directement le nombre à partir du rang ? (ici :

2 \times rang + 1

; vérification au rang

4

2 \times 4 + 1 = 9

✓)

Suites de nombres : trouver la règle

Une suite de nombres cache souvent une règle. Pour la trouver, on regarde ce qui change entre deux termes voisins.

Les règles les plus courantes.
• On ajoute toujours le même nombre :

4, 7, 10, 13, 16

… (+3).
• On retire toujours le même nombre :

90, 82, 74, 66

… (−8).
• On multiplie toujours par le même nombre :

3, 6, 12, 24, 48

… (×2).
• Le terme dépend du rang de façon plus cachée :

1, 4, 9, 16, 25

… (rang × rang).

Exemple. Suite

4, 7, 10, 13

… Les écarts sont

3, 3, 3

: on ajoute

3

. Le rang

1

vaut

4 = 3 \times 1 + 1

, le rang

2

vaut

7 = 3 \times 2 + 1

: la règle directe est

3 \times rang + 1

Astuce. Écris les écarts entre les termes voisins sous la suite. S'ils sont tous égaux, la règle directe est « écart × rang + quelque chose » ; on trouve le « quelque chose » avec le rang

1

Attention ! Trois termes ne suffisent pas toujours :

1, 2, 4

peut continuer par

8

(×2) ou par

7

(on ajoute

1

, puis

2

, puis

3

). L'énoncé doit donner la règle ou assez de termes.

Aller loin sans tout dessiner : rang et terme

Pour connaître le nombre d'allumettes au rang $100$ , on ne dessine pas $100$ figures : on utilise la règle directe.

Exemple 1 (du rang au nombre). Triangles d'allumettes :

2 \times rang + 1

. Au rang

100

2 \times 100 + 1 = 201

allumettes.

Exemple 2 (du nombre au rang). À quel rang a-t-on

61

allumettes ? On défait la règle à l'envers :

61 - 1 = 60

, puis

60 \div 2 = 30

. C'est le rang

30

. Vérification :

2 \times 30 + 1 = 61

✓.

Exemple 3 (un nombre impossible). Peut-on avoir exactement

50

allumettes ?

50 - 1 = 49

49 \div 2

n'est pas un nombre entier : aucun rang ne convient. Les nombres de la suite sont tous impairs.

Astuce. Après un calcul de rang, remplace toujours le rang trouvé dans la règle pour vérifier que tu retombes sur le nombre demandé.

« Je pense à un nombre » : remonter un programme de calcul

« Je pense à un nombre, je le multiplie par $3$ , j'ajoute $4$ et j'obtiens $25$ . Quel est ce nombre ? » C'est un programme de calcul dont on connaît le résultat mais pas le départ.

Méthode : remonter à l'envers. On part du résultat et on applique les opérations inverses, dans l'ordre inverse (la dernière opération est défaite en premier).
• L'inverse de «

+ 4

» est «

- 4

» :

25 - 4 = 21

.
• L'inverse de «

\times 3

» est «

\div 3

» :

21 \div 3 = 7

.
Le nombre pensé est

7

. Vérification :

7 \times 3 = 21

21 + 4 = 25

✓.

Opération	$+ a$	$- a$	$\times a$	$\div a$
Opération inverse	$- a$	$+ a$	$\div a$	$\times a$

Attention ! L'ordre compte. Pour «

\times 3

puis

+ 4

», on défait d'abord le

+ 4

. Calculer

25 \div 3

en premier serait faux.

Égalités à trous et schémas en barre

Une égalité à trou cache un nombre : $12 + ◻ = 30$ . On cherche le nombre qui rend l'égalité vraie.

Deux façons de trouver le nombre caché.
• Essayer des valeurs et vérifier :

12 + 18 = 30

✓.
• Utiliser l'opération inverse :

◻ = 30 - 12 = 18

Exemples.

◻ \times 4 = 52

→

◻ = 52 \div 4 = 13

45 - ◻ = 18

→

◻ = 45 - 18 = 27

◻ \div 5 = 7

→

◻ = 7 \times 5 = 35

Le schéma en barre. Pour un problème avec plusieurs parts, on dessine une barre qui représente le total, découpée en morceaux.

Exemple. Léa et Tom ont

42

billes à eux deux, et Tom en a

8

de plus que Léa.
La barre « total

42

» se découpe en : [part de Léa] + [part de Léa] + [

8

].
Donc

2 \times part de Léa + 8 = 42

;

42 - 8 = 34

;

34 \div 2 = 17

. Léa a

17

billes et Tom

17 + 8 = 25

. Vérification :

17 + 25 = 42

✓.

Attention ! «

8

de plus » veut dire

+ 8

; «

8

fois plus » veut dire

\times 8

. Le schéma en barre évite de les confondre : dans un cas on ajoute un petit morceau, dans l'autre on répète la même part

8

fois.

Représenter un nombre inconnu par une lettre

Plutôt qu'une case vide, on peut représenter le nombre inconnu par une lettre : $n$ , $x$ , $a$ … La lettre désigne un nombre qu'on ne connaît pas encore, ou qui peut changer.

Écrire une expression avec une lettre.
• Le prix de

n

cahiers à

3

€ :

3 \times n

.
• L'âge de Paul dans

5

ans, s'il a

a

ans aujourd'hui :

a + 5

.
• Le périmètre d'un carré de côté

c

4 \times c

.
• Le nombre d'allumettes au rang

n

des triangles :

2 \times n + 1

Tester une valeur. L'égalité

2 \times n + 1 = 11

est-elle vraie pour

n = 5

? On remplace :

2 \times 5 + 1 = 11

✓ oui. Pour

n = 6

2 \times 6 + 1 = 13 \neq 11

, non.

Astuce. Une lettre se manipule comme un nombre :

n + n + n

, c'est

3 \times n

. Et « le double de

n

plus

7

» s'écrit

2 \times n + 7

Attention !

2 \times n + 1

2 \times (n + 1)

ne sont pas la même chose : pour

n = 4

, la première vaut

9

et la seconde

10

. Les parenthèses indiquent ce qu'on calcule en premier.

Méthodes et erreurs fréquentes

Les quatre erreurs classiques.
① Compter rang par rang jusqu'au rang

100

: long et source d'erreurs ; il faut la règle directe.
② Oublier le «

+ 1

» (ou le «

- 2

») de la règle directe : vérifie toujours avec le rang

1

.
③ Remonter un programme de calcul dans le mauvais ordre : la dernière opération se défait en premier.
④ Confondre « de plus » (

+

) et « fois plus » (

\times

Contrôle du résultat. Un nombre trouvé se vérifie en le remettant dans le problème : dans la règle, dans le programme de calcul ou dans l'égalité à trou. Si l'égalité est fausse, on recommence.

En bref

Un motif évolutif grandit selon une règle ; on décrit le passage d'un rang au suivant (« on ajoute $2$ ») et la règle directe (« $2 \times rang + 1$ »).
Pour un rang lointain, on utilise la règle directe ; pour retrouver un rang, on la défait à l'envers.
« Je pense à un nombre » : on remonte le programme avec les opérations inverses, en commençant par la dernière.
Égalité à trou : le nombre caché rend l'égalité vraie ; on le trouve par essais ou par l'opération inverse.
Un schéma en barre traduit « de plus » ( $+$ ) et « fois plus » ( $\times$ ) sans les confondre.
Une lettre représente un nombre inconnu : $3 \times n$ , $a + 5$ ; on teste une valeur en la remplaçant.

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