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Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue
Motifs évolutifs et suites de nombres (étape suivante, règle directe en mots puis avec une lettre, étape lointaine), programmes de calcul ; problèmes « je pense à un nombre » résolus par essais, par opérations inverses ou par un schéma en barres ; égalités à trou
À propos de cette page
Motifs évolutifs
Un motif évolutif, ce sont des figures qui grandissent toujours de la même façon. Le but : prévoir une figure lointaine sans la dessiner.
Décrire un motif, c’est répondre à deux questions :
• Comment passe-t-on d’une étape à la suivante ? (on ajoute toujours le même nombre d’éléments)
• Comment calculer directement le nombre d’éléments à partir du numéro de l’étape ? C’est la règle directe : on la dit d’abord en mots, puis on l’écrit avec une lettre.
Un motif d’allumettes
| Étape | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Allumettes | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
D’une étape à la suivante : + 2 allumettes (le nouveau triangle partage un côté avec le précédent).
En mots : nombre d’allumettes = 2 × numéro de l’étape + 1 (2 allumettes par triangle, plus la toute première à gauche).
Vérification à l’étape 4 : 2 × 4 + 1 = 9 ✓
Avec une lettre : à l’étape n, il y a 2 × n + 1 allumettes. La lettre n remplace le numéro de l’étape, quel qu’il soit.
Trouver la règle directe
J’écris les écarts entre deux étapes voisines. S’ils sont tous égaux, la règle directe est « écart × n + un nombre fixe », et je trouve ce nombre fixe avec l’étape 1.
Suite 4 ; 7 ; 10 ; 13… Les écarts valent 3 ; 3 ; 3 : on ajoute 3.
À l’étape 1 : 3 × 1 = 3, et il faut 4 : il manque 1. Règle directe : 3 × n + 1. Contrôle à l’étape 2 : 3 × 2 + 1 = 7 ✓
Aller loin sans tout dessiner
Du numéro au nombre : à l’étape 100, il faut 2 × 100 + 1 = 201 allumettes.
Du nombre au numéro : quelle étape a 61 allumettes ? Je défais la règle à l’envers : 61 − 1 = 60, puis 60 ÷ 2 = 30. C’est l’étape 30. Vérification : 2 × 30 + 1 = 61 ✓
Un nombre impossible : 50 allumettes ? 50 − 1 = 49, et 49 ÷ 2 ne tombe pas juste : aucune étape ne convient (les nombres de ce motif sont tous impairs).
Suites de nombres : les règles courantes
• On ajoute toujours le même nombre : 4 ; 7 ; 10 ; 13… (+ 3)
• On retire toujours le même nombre : 90 ; 82 ; 74 ; 66… (− 8)
• On multiplie toujours par le même nombre : 3 ; 6 ; 12 ; 24… (× 2)
• Le terme dépend du rang de façon plus cachée : 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25… (rang × rang)
Programme de calcul
Un programme de calcul est une liste d’opérations à faire dans l’ordre, à partir d’un nombre choisi.
En partant de 5 : 5 × 4 = 20, puis 20 − 3 = 17.
En partant de 2,5 : 2,5 × 4 = 10, puis 10 − 3 = 7.
Avec une lettre : en partant de n, le programme donne 4 × n − 3.
Les parenthèses disent ce qu’on calcule en premier. « Ajoute 1, puis multiplie par 2 » s’écrit 2 × (n + 1) ; « multiplie par 2, puis ajoute 1 » s’écrit 2 × n + 1. Pour n = 4 : 2 × 4 + 1 = 9, mais 2 × (4 + 1) = 10.
Réflexe — après avoir trouvé une règle directe, je la teste sur l’étape 1 et l’étape 2 ; après avoir trouvé un numéro d’étape, je le remets dans la règle.
Attention — trois termes ne suffisent pas toujours : 1 ; 2 ; 4 peut continuer par 8 (× 2) ou par 7 (+ 1, + 2, + 3…). Et pour l’étape 100, on ne compte pas étape par étape : on utilise la règle directe sans oublier le nombre fixe (le « + 1 »).
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Je pense à un nombre
« Je pense à un nombre, je le multiplie par 3, j’ajoute 4 et j’obtiens 25. Quel est ce nombre ? » On connaît le résultat d’un programme de calcul, mais pas le nombre de départ : c’est un problème à inconnue.
1. Par essais : j’essaie une valeur, je calcule, je compare au résultat voulu, puis j’ajuste (trop petit ou trop grand).
2. Par opérations inverses : je pars du résultat et je défais les opérations dans l’ordre inverse (la dernière opération se défait en premier).
3. Avec un schéma en barres, quand le problème parle de parts.
Dans tous les cas, je vérifie en remettant le nombre trouvé dans l’énoncé.
Par essais
J’essaie 5 : 5 × 3 + 4 = 19, trop petit.
J’essaie 8 : 8 × 3 + 4 = 28, trop grand.
J’essaie 7 : 7 × 3 + 4 = 25 ✓ Le nombre pensé est 7.
Par opérations inverses
| Opération | + a | − a | × a | ÷ a |
|---|---|---|---|---|
| Opération inverse | − a | + a | ÷ a | × a |
La dernière opération est « + 4 » : je la défais en premier. 25 − 4 = 21.
Puis je défais « × 3 » : 21 ÷ 3 = 7.
Vérification : 7 × 3 = 21, puis 21 + 4 = 25 ✓
Égalités à trou
Une égalité à trou cache un nombre : on cherche le nombre qui rend l’égalité vraie. On peut écrire une lettre à la place de la case : 3 × n + 4 = 25 est vraie pour n = 7.
12 + □ = 30 : □ = 30 − 12 = 18
□ × 4 = 52 : □ = 52 ÷ 4 = 13
□ ÷ 5 = 7 : □ = 7 × 5 = 35
Quand la case est ce qu’on retire ou ce par quoi on divise : 45 − □ = 18 donne □ = 45 − 18 = 27 ; 72 ÷ □ = 8 donne □ = 72 ÷ 8 = 9.
Tester une valeur : l’égalité 2 × n + 1 = 11 est-elle vraie pour n = 5 ? 2 × 5 + 1 = 11 ✓ Pour n = 6 : 2 × 6 + 1 = 13, ce n’est pas 11.
Écrire avec une lettre
Prix de n cahiers à 3 € l’un : 3 × n
Âge de Paul dans 5 ans, s’il a a ans aujourd’hui : a + 5
Périmètre d’un carré de côté c : 4 × c
n + n + n, c’est 3 fois n : 3 × n
« Le double de n plus 7 » : 2 × n + 7
Le schéma en barres
Une barre représente une quantité ; on la découpe en morceaux pour voir les parts.
Le total, c’est 2 parts de Léa et 8 billes : 42 − 8 = 34, puis 34 ÷ 2 = 17.
Léa a 17 billes et Tom 17 + 8 = 25. Vérification : 17 + 25 = 42 ✓
Léa = 1 part, Tom = 3 parts : 4 parts égales en tout. 48 ÷ 4 = 12.
Léa a 12 billes et Tom 3 × 12 = 36. Vérification : 12 + 36 = 48 ✓
Réflexe — je défais la dernière opération en premier, puis je vérifie en refaisant le programme dans le bon sens avec le nombre trouvé.
Attention — pour « × 3 puis + 4 », calculer d’abord 25 ÷ 3 est faux : l’ordre compte. Et « 8 de plus » veut dire + 8 (un petit morceau ajouté), « 3 fois plus » veut dire × 3 (la même part répétée 3 fois).
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- Motif évolutif : on passe d’une étape à la suivante en ajoutant toujours la même chose.
- Écarts égaux → règle directe « écart × n + nombre fixe », le nombre fixe se trouve avec l’étape 1 ; on la vérifie sur l’étape 2.
- Étape lointaine : je remplace n par son numéro ; du nombre à l’étape : je défais la règle à l’envers (si ça ne tombe pas juste, c’est impossible).
- Programme de calcul : les opérations dans l’ordre ; les parenthèses se calculent d’abord.
- Je pense à un nombre : par essais, ou en défaisant les opérations dans l’ordre inverse ; schéma en barres pour les parts (« de plus » = + ; « fois plus » = ×) ; je vérifie toujours.
Questions fréquentes
Comment trouver la règle d’un motif évolutif ?
On écrit les écarts entre deux étapes voisines. S’ils sont tous égaux, la règle directe est « écart × numéro de l’étape + un nombre fixe », trouvé avec l’étape 1. Pour 3 ; 5 ; 7 ; 9 allumettes : écart 2, règle 2 × n + 1.
Comment trouver le nombre d’éléments à l’étape 100 sans tout dessiner ?
On remplace n par 100 dans la règle directe : avec 2 × n + 1, on obtient 2 × 100 + 1 = 201. Dans l’autre sens, on défait la règle à l’envers : 61 − 1 = 60, puis 60 ÷ 2 = 30, c’est l’étape 30.
Comment résoudre « je pense à un nombre » ?
On part du résultat et on défait les opérations dans l’ordre inverse. « × 3 puis + 4, j’obtiens 25 » : 25 − 4 = 21, puis 21 ÷ 3 = 7. On vérifie : 7 × 3 + 4 = 25. On peut aussi procéder par essais.
À quoi sert un schéma en barres ?
Il montre les parts d’un problème. « Léa et Tom ont 42 billes, Tom en a 8 de plus » : deux parts de Léa et un morceau de 8, donc 42 − 8 = 34, puis 34 ÷ 2 = 17 billes pour Léa.
Fait-on des équations en 6e ?
Non : en 6e, on cherche un nombre caché par essais, par opérations inverses ou avec un schéma en barres, et on peut l’écrire avec une case ou une lettre (3 × n + 4 = 25). Les équations et le calcul littéral viennent en 5e et en 4e.
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