Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue

Motifs évolutifs et suites de nombres (étape suivante, règle directe en mots puis avec une lettre, étape lointaine), programmes de calcul ; problèmes « je pense à un nombre » résolus par essais, par opérations inverses ou par un schéma en barres ; égalités à trou

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue » en sixième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de sixième et se résolvent étape par étape. Au programme : décrire un motif évolutif ou une suite de nombres ; trouver la figure suivante et le nombre d’éléments à l’étape n, en mots puis avec une formule simple ; exécuter un programme de calcul ; résoudre un problème « je pense à un nombre » par essais, par opérations inverses ou avec un schéma en barres ; trouver le nombre caché d’une égalité à trou. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis tout l’énoncé et je repère les données utiles (et leurs unités).
Je choisis la méthode du cours qui convient (le « cas » indiqué sous le problème peut m’aider).
Je fais les calculs ou la figure, étape par étape.
Je vérifie que le résultat est vraisemblable (ordre de grandeur, figure, unité).
Je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les tables de la cantine★★★Facile

À la cantine, une table carrée accueille

4

chaises. Quand on colle des tables en ligne, on place une chaise de chaque côté libre.

1. Combien de chaises pour $4$ tables en ligne ?
On ajoute $2$ chaises par table de plus : $4$ ; $6$ ; $8$ ; puis $8 + 2 = 10$ .
2. Complète la règle directe : chaises $= 2 \times$ nombre de tables $+$
Chaque table apporte $2$ chaises (une en haut, une en bas), plus $1$ chaise à chaque bout.
Contrôle : $2 \times 1 + 2 = 4$ ✓ et $2 \times 3 + 2 = 8$ ✓
3. Combien de chaises pour $12$ tables en ligne ?
$2 \times 12 + 2 = 24 + 2 = 26$ .
4. Combien de tables faut-il aligner pour asseoir exactement $30$ personnes ?
Je défais la règle : $30 - 2 = 28$ , puis $28 \div 2 = 14$ tables.
Vérification : $2 \times 14 + 2 = 30$ ✓

Problème 2 · Le dallage★★★Moyen

Au rang

n

, on forme un carré de carreaux blancs de

n

carreaux de côté, entouré d’une bordure de carreaux beiges. Rang

1

1

blanc et

8

beiges. Rang

2

4

blancs et

12

beiges.

1. Nombre de carreaux beiges au rang $3$ :
Le grand carré a $5$ carreaux de côté : $5 \times 5 = 25$ carreaux, dont $3 \times 3 = 9$ blancs.
$25 - 9 = 16$ beiges.
2. Nombre de carreaux beiges au rang $4$ :
Les beiges vont de $4$ en $4$ : $8$ ; $12$ ; $16$ ; $20$ . Règle directe : $4 \times n + 4$ .
Contrôle : $4 \times 4 + 4 = 20$ ✓
3. Nombre de carreaux blancs au rang $10$ :
Un carré de $10$ carreaux de côté : $10 \times 10 = 100$ blancs.
4. À quel rang la bordure compte-t-elle $48$ carreaux beiges ? Rang
Je défais la règle $4 \times n + 4$ : $48 - 4 = 44$ , puis $44 \div 4 = 11$ .
Vérification : $4 \times 11 + 4 = 48$ ✓

Problème 3 · La devinette★★★Moyen

« Je pense à un nombre. Je lui ajoute

7

, je multiplie le résultat par

4

et j’obtiens

60

. »

1. Lina essaie le nombre $10$ . Quel résultat obtient-elle ?
$10 + 7 = 17$ , puis $17 \times 4 = 68$ : c’est trop grand, le nombre pensé est plus petit que $10$ .
2. Quel nombre avait-on juste avant la dernière opération ?
La dernière opération est « $\times 4$ » : je la défais en premier. $60 \div 4 = 15$ .
3. Quel est le nombre pensé ?
Je défais « $+ 7$ » : $15 - 7 = 8$ .
Vérification : $8 + 7 = 15$ , puis $15 \times 4 = 60$ ✓
4. Autre devinette : « Je multiplie un nombre par $6$ , je retire $15$ et j’obtiens $45$ . » Nombre pensé :
$45 + 15 = 60$ , puis $60 \div 6 = 10$ .
Vérification : $10 \times 6 - 15 = 45$ ✓

Problème 4 · Le programme magique★★★Difficile

Programme de calcul : « Choisis un nombre. Multiplie-le par

2

. Ajoute

10

. Divise le résultat par

2

. Soustrais le nombre de départ. »

1. Résultat en partant de $7$ :
$7 \times 2 = 14$ ; $14 + 10 = 24$ ; $24 \div 2 = 12$ ; $12 - 7 = 5$ .
2. Résultat en partant de $20$ :
$20 \times 2 = 40$ ; $40 + 10 = 50$ ; $50 \div 2 = 25$ ; $25 - 20 = 5$ .
3. Résultat en partant de $3, 5$ :
$3, 5 \times 2 = 7$ ; $7 + 10 = 17$ ; $17 \div 2 = 8, 5$ ; $8, 5 - 3, 5 = 5$ .
4. On remplace « Ajoute $10$ » par « Ajoute $16$ ». Quel résultat obtient-on maintenant, quel que soit le nombre choisi ?
Diviser par $2$ défait le « $\times 2$ » et partage le nombre ajouté en deux : on retombe sur le nombre de départ plus $16 \div 2 = 8$ . On retire ensuite le nombre de départ : il reste $8$ .
Contrôle avec $9$ : $9 \times 2 = 18$ ; $18 + 16 = 34$ ; $34 \div 2 = 17$ ; $17 - 9 = 8$ ✓

Problème 5 · La trousse et le cahier★★★Difficile

Une trousse et un cahier coûtent ensemble

11

€. La trousse coûte

5

€ de plus que le cahier.

1. Prix du cahier : €
Barre : cahier | cahier | $5$ .
$11 - 5 = 6$ , puis $6 \div 2 = 3$ €.
2. Prix de la trousse : €
$3 + 5 = 8$ €. Vérification : $3 + 8 = 11$ ✓
3. Prix de trois cahiers et d’une trousse : €
$3 \times 3 + 8 = 9 + 8 = 17$ €.
4. Dans un autre magasin, la trousse et le cahier coûtent ensemble $12$ €, et la trousse coûte $5$ fois plus que le cahier. Prix du cahier : €
Barre : $1$ part pour le cahier, $5$ parts pour la trousse : $6$ parts égales font $12$ €.
$12 \div 6 = 2$ € (et la trousse $10$ €).
Ici on ne retire rien : « fois plus » répète la part.

Problème 6 · Les escaliers de cubes★★★Difficile

On construit des escaliers avec des cubes : l’escalier de l’étape

1

1

cube, celui de l’étape

2

en a

3

(une colonne de

2

et une de

1

), celui de l’étape

3

en a

6

1. Nombre de cubes de l’escalier de l’étape $4$ :
On ajoute une colonne de $4$ cubes : $6 + 4 = 10$ .
2. Nombre de cubes de l’escalier de l’étape $5$ :
$10 + 5 = 15$ . Les écarts ( $2$ , $3$ , $4$ , $5$ ) ne sont pas égaux : ils augmentent de $1$ à chaque étape.
3. Nombre de cubes de l’escalier de l’étape $10$ :
$1 + 2 + 3 + \dots + 10$ : on groupe $1 + 10$ , $2 + 9$ , $3 + 8$ , $4 + 7$ , $5 + 6$ , soit $5$ paires de $11$ .
$5 \times 11 = 55$ cubes.
4. Quel escalier compte exactement $36$ cubes ? Étape
On continue : étape $6$ : $15 + 6 = 21$ ; étape $7$ : $21 + 7 = 28$ ; étape $8$ : $28 + 8 = 36$ ✓

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