Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue

Motifs évolutifs et suites de nombres (étape suivante, règle directe en mots puis avec une lettre, étape lointaine), programmes de calcul ; problèmes « je pense à un nombre » résolus par essais, par opérations inverses ou par un schéma en barres ; égalités à trou

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Initiation à la pensée algébrique : motifs évolutifs et problèmes à inconnue » en sixième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de sixième et sont classés par méthode, comme les 5 cas du cours, et par difficulté (★, ★★, ★★★). Au programme : décrire un motif évolutif ou une suite de nombres ; trouver la figure suivante et le nombre d’éléments à l’étape n, en mots puis avec une formule simple ; exécuter un programme de calcul ; résoudre un problème « je pense à un nombre » par essais, par opérations inverses ou avec un schéma en barres ; trouver le nombre caché d’une égalité à trou. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle.

7 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Motifs évolutifs

Réflexe — j’écris les écarts entre deux étapes ; s’ils sont égaux, la règle directe est « écart × n + le nombre fixe trouvé avec l’étape 1 ». Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Trouve la règle, puis donne le terme suivant.

$5$ ; $8$ ; $11$ ; $14$ ;
Les écarts valent tous $3$ : on ajoute $3$ .
$14 + 3 = 17$ .
$3$ ; $6$ ; $12$ ; $24$ ;
On multiplie par $2$ à chaque fois : $24 \times 2 = 48$ .
$50$ ; $45$ ; $40$ ; $35$ ;
On retire $5$ à chaque fois : $35 - 5 = 30$ .
$2$ ; $5$ ; $10$ ; $17$ ;
Les écarts sont $3$ , $5$ , $7$ : ils augmentent de $2$ . Le prochain écart est $9$ : $17 + 9 = 26$ .
C’est aussi rang × rang $+ 1$ : $5 \times 5 + 1 = 26$ .

Exercice 2★★★Moyen

Observe le motif de points.

Nombre de points à l’étape $4$ :
On ajoute une colonne de $3$ points : $10 + 3 = 13$ .
Règle directe : à l’étape $n$ , il y a $\times n +$ points.
Écart $3$ ; à l’étape $1$ : $3 \times 1 = 3$ , il manque $1$ point (le point noir).
Règle directe : $3 \times n + 1$ .
Nombre de points à l’étape $10$ :
$3 \times 10 + 1 = 31$ .
À quelle étape la figure a-t-elle $61$ points ? Étape
Je défais la règle à l’envers : $61 - 1 = 60$ , puis $60 \div 3 = 20$ .
Vérification : $3 \times 20 + 1 = 61$ ✓

Exercice 3★★★Difficile

Programmes de calcul et règles avec une lettre.

Programme : « Choisis un nombre. Ajoute $6$ . Multiplie le résultat par $2$ . » Résultat en partant de $4$ :
$4 + 6 = 10$ , puis $10 \times 2 = 20$ .
Même programme en partant de $2, 5$ :
$2, 5 + 6 = 8, 5$ , puis $8, 5 \times 2 = 17$ .
Pour $n = 7$ , la valeur de $4 \times n - 5$ est :
Je remplace $n$ par $7$ : $4 \times 7 - 5 = 28 - 5 = 23$ .
Pour $a = 12$ , la valeur de $(a + 8) \div 4$ est :
Les parenthèses d’abord : $12 + 8 = 20$ , puis $20 \div 4 = 5$ .
Le motif des triangles d’allumettes a $2 \times n + 1$ allumettes à l’étape $n$ . Parmi $37$ , $52$ et $63$ , quel nombre d’allumettes est impossible ?
$37 - 1 = 36$ et $36 \div 2 = 18$ : étape $18$ .
$63 - 1 = 62$ et $62 \div 2 = 31$ : étape $31$ .
$52 - 1 = 51$ , et $51 \div 2$ ne tombe pas juste : $52$ est impossible (les nombres du motif sont impairs).

Cas 2Je pense à un nombre

Réflexe — je pars du résultat et je défais les opérations dans l’ordre inverse : la dernière se défait en premier ; puis je vérifie. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Trouve le nombre caché qui rend l’égalité vraie.

$15 + ◻ = 42$ : $◻ =$
$◻ = 42 - 15 = 27$ . Vérification : $15 + 27 = 42$ ✓
$◻ - 9 = 25$ : $◻ =$
L’inverse de « $- 9$ » est « $+ 9$ » : $25 + 9 = 34$ .
$6 \times ◻ = 54$ : $◻ =$
$◻ = 54 \div 6 = 9$ .
$◻ \div 4 = 12$ : $◻ =$
L’inverse de « $\div 4$ » est « $\times 4$ » : $12 \times 4 = 48$ .
$100 - ◻ = 63$ : $◻ =$
Ici la case est ce qu’on retire : $◻ = 100 - 63 = 37$ . Vérification : $100 - 37 = 63$ ✓

Exercice 5★★★Moyen

Complète pour écrire chaque phrase avec une lettre.

Prix de $n$ stylos à $2$ € l’un : $\times n$
$n$ stylos à $2$ € : $2 \times n$ €.
Âge de Léa dans $4$ ans, si elle a $a$ ans aujourd’hui : $a +$
Dans $4$ ans, elle aura $4$ ans de plus : $a + 4$ .
Périmètre d’un triangle équilatéral de côté $c$ : $\times c$
Trois côtés de même longueur $c$ : $c + c + c = 3 \times c$ .
$n + n + n + n =$ $\times n$
$4$ fois le nombre $n$ : $4 \times n$ .
« Le triple de $n$ moins $5$ » : $\times n -$
Le triple de $n$ , c’est $3 \times n$ ; on retire ensuite $5$ : $3 \times n - 5$ .

Exercice 6★★★Moyen

Retrouve le nombre pensé en remontant le programme de calcul.

Je multiplie par $2$ , j’ajoute $5$ , j’obtiens $21$ . Nombre pensé :
Je défais « $+ 5$ » : $21 - 5 = 16$ , puis « $\times 2$ » : $16 \div 2 = 8$ .
Je retire $7$ , je multiplie par $3$ , j’obtiens $27$ . Nombre pensé :
Je défais « $\times 3$ » : $27 \div 3 = 9$ , puis « $- 7$ » : $9 + 7 = 16$ .
Je divise par $4$ , j’ajoute $9$ , j’obtiens $15$ . Nombre pensé :
$15 - 9 = 6$ , puis $6 \times 4 = 24$ .
Je multiplie par $5$ , je retire $3$ , j’obtiens $42$ . Nombre pensé :
$42 + 3 = 45$ , puis $45 \div 5 = 9$ .
Parmi $5$ , $6$ et $7$ , quelle valeur rend vraie l’égalité $3 \times n - 4 = 14$ ? $n =$
Je teste chaque valeur : $3 \times 5 - 4 = 11$ ; $3 \times 6 - 4 = 14$ ✓ ; $3 \times 7 - 4 = 17$ .
C’est $n = 6$ .

Exercice 7★★★Difficile

Résous avec un schéma en barres.

Deux nombres ont pour somme $50$ ; l’un vaut $12$ de plus que l’autre. Le plus petit est :
Barre : petit | petit | $12$ .
$50 - 12 = 38$ , puis $38 \div 2 = 19$ . L’autre vaut $19 + 12 = 31$ ; vérification : $19 + 31 = 50$ ✓
Un stylo coûte $3$ fois plus qu’une gomme ; ensemble, ils coûtent $6$ €. Prix de la gomme : €
Gomme $= 1$ part, stylo $= 3$ parts : $4$ parts égales font $6$ €.
$6 \div 4 = 1, 5$ : la gomme coûte $1, 50$ € (et le stylo $4, 50$ €).
Trois amis se partagent $100$ € : Ali reçoit $10$ € de plus que Malo, et Cléo autant que Malo. Malo reçoit €
Barre : Malo | Malo + $10$ | Malo, soit $3$ parts et $10$ €.
$100 - 10 = 90$ , puis $90 \div 3 = 30$ €. Ali a $40$ €, Cléo $30$ € : $30 + 40 + 30 = 100$ ✓
Calculer $100 \div 3$ serait faux : les trois parts ne sont pas égales.

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