Fiche de révision : puissances, carré et cube d'un nombre

Notations a² et a³ (base, exposant), carré et cube d’un entier ou d’un décimal, lien avec l’aire du carré et le volume du cube, carrés parfaits de 0 à 12 et cube de 10, écrire un nombre sous la forme d’un carré ou d’un cube, calculer une expression avec des puissances (priorités, expression littérale).

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benprofparticulier.frMathématiques · 5ᵉ

Puissances : carré et cube d'un nombre

Fiche méthode

(Mathématiques 5ᵉ · Nombres et calculs · Puissances)

La démarche pour tout calcul avec des carrés et des cubes

1. J’écris le produit. $a^{2} = a \times a$ (deux facteurs), $a^{3} = a \times a \times a$ (trois facteurs) : l’exposant compte les facteurs.

2. Je calcule dans le bon ordre. Parenthèses, puis puissances, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ .

3. Je contrôle. Virgule (autant de chiffres après la virgule qu’en tout dans les facteurs), table des carrés parfaits, unité (cm² pour une aire, cm³ pour un volume).

Le réflexe — l’exposant ne multiplie jamais la base : il compte combien de fois elle est facteur.

Cas 1 · Calculer un carré ou un cube

Réflexe — j’écris deux ou trois facteurs égaux ; pour un cube, je calcule d’abord le carré puis je multiplie encore une fois.

Exemple. Calculer $1, 4^{2}$ et $0, 4^{3}$ .

$1, 4^{2} = 1, 4 \times 1, 4$ : $14 \times 14 = 196$ , avec $2$ chiffres après la virgule : $1, 96$ .

$0, 4^{3} = 0, 4 \times 0, 4 \times 0, 4 = 0, 16 \times 0, 4 = 0, 064$ ( $3$ chiffres après la virgule).

Attention — l’aire d’un carré s’écrit en unité « au carré » (cm²), le volume d’un cube en unité « au cube » (cm³).

Cas 2 · Carrés parfaits, écrire sous forme de puissance

Réflexe — je cherche dans la table des carrés (0 à 12, et 13, 14, 15) ou des cubes (2 à 5, et 10), puis je vérifie en recalculant.

Exemple. Écrire $400$ sous la forme d’un carré et $0, 027$ sous la forme d’un cube.

$400 = 4 \times 100$ et $20 \times 20 = 400$ : $400 = 20^{2}$ .

$27 = 3^{3}$ , donc je pense à $0, 3$ : $0, 3 \times 0, 3 \times 0, 3 = 0, 027$ . Donc $0, 027 = 0, 3^{3}$ .

Attention — le nombre qui a pour carré $64$ est $8$ , pas $32$ (la moitié de $64$ ).

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Cas 3 · Calculer une expression avec des puissances

Réflexe — parenthèses, puis puissances, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ ; l’exposant ne porte que sur ce qu’il touche.

Exemple 1. Calculer $B = 2 \times 3^{2} + (5 - 1)^{3}$ .

$B = 2 \times 3^{2} + 4^{3}$ (parenthèse)

$B = 2 \times 9 + 64$ (puissances)

$B = 18 + 64 = 82$

Exemple 2. Calculer $3 x^{2} - 5$ pour $x = 4$ .

Le carré d’abord : $4^{2} = 16$ .

Puis $3 \times 16 - 5 = 48 - 5 = 43$ .

Attention — $3 x^{2}$ signifie $3 \times x^{2}$ , pas $(3 x)^{2}$ .

Les pièges

$9^{2} = 81$ et non $9 \times 2 = 18$ : l’exposant compte les facteurs.
$(2 + 5)^{2} = 49$ mais $2^{2} + 5^{2} = 29$ : le carré d’une somme n’est pas la somme des carrés.
$0, 8^{2} = 0, 64$ et non $1, 6$ ni $6, 4$ : deux chiffres après la virgule.
$2 \times 3^{2} = 18$ et non $6^{2} = 36$ : la puissance passe avant le produit.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode tient en une démarche (écrire le produit, calculer dans l’ordre, contrôler la virgule et l’unité), un exemple corrigé par cas — carré et cube d’un décimal, écrire 400 et 0,027 comme des puissances, expression avec des puissances — et quatre pièges classiques, dont 9² qui n’est pas 18.

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