Triangles semblables

Rappels de 4e (somme des angles, triangles égaux, agrandissement et réduction de coefficient k), triangles semblables définis par des angles deux à deux égaux (deux angles suffisent), côtés homologues proportionnels et réciproque, repérer les sommets et les côtés homologues, calculer une longueur, un périmètre ou une aire (aire multipliée par k²).

À propos de cette page

Six problèmes corrigés sur les triangles semblables : mesurer un arbre avec un miroir, la maquette d’une voile, trois triangles à comparer, un triangle coupé par une parallèle, l’image d’un projecteur et la hauteur d’un triangle rectangle.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère les deux triangles et je fais un schéma où je code les angles droits, les angles égaux et les parallèles.
Je justifie qu’ils sont semblables : deux paires d’angles égaux (angle droit, angle commun, opposés par le sommet, parallèles, miroir) ou trois quotients de côtés égaux.
J’écris les triangles dans l’ordre des homologues et je calcule $k$ avec deux côtés homologues connus.
Je calcule les longueurs ( $\times k$ ou $\div k$ ), le périmètre ( $\times k$ ) ou l’aire ( $\times k^{2}$ ), puis je contrôle et je réponds par une phrase avec l’unité.

Problème 1 · Le miroir et l’arbre★★★Facile

Pour mesurer un arbre, Léa pose un miroir au sol à

2

m de ses pieds et recule jusqu’à voir le sommet de l’arbre dans le miroir. Ses yeux sont à

1, 5

m du sol et le miroir est à

12

m du pied de l’arbre. Le rayon lumineux fait des angles égaux avec le sol de part et d’autre du miroir ; Léa et l’arbre sont verticaux. Les deux triangles (Léa–miroir et arbre–miroir) ont donc un angle droit et un angle égal : ils sont semblables.

1. Coefficient $k$ du petit triangle (Léa) vers le grand (arbre) :
Les côtés au sol sont homologues (ils touchent l’angle droit et l’angle au miroir) : $k = 12 \div 2 = 6$ .
2. Hauteur de l’arbre : m
La hauteur des yeux de Léa est homologue de la hauteur de l’arbre : $1, 5 \times 6 = 9$ m.
3. Avec le même miroir, Léa voit le sommet d’un mât en se plaçant à $3$ m du miroir, celui-ci étant à $9$ m du mât. Hauteur du mât : m
$k = 9 \div 3 = 3$ ; hauteur du mât : $1, 5 \times 3 = 4, 5$ m.
4. Un pylône de $12$ m est à $20$ m du miroir. À quelle distance du miroir Léa doit-elle se placer pour voir son sommet ? m
Cette fois, on connaît les hauteurs : $k = 12 \div 1, 5 = 8$ . La distance de Léa au miroir est homologue des $20$ m : $20 \div 8 = 2, 5$ m (on revient au petit triangle, on divise).

Problème 2 · La voile du bateau★★★Moyen

La voile d’un bateau est un triangle rectangle dont les côtés mesurent

3

4

m et

5

m. Pour une maquette, on la reproduit à l’échelle

\frac{1}{20}

: toutes les longueurs sont divisées par

20

1. Longueur du plus petit côté de la voile de la maquette : cm
$3$ m $= 300$ cm et $300 \div 20 = 15$ cm.
2. Périmètre de la voile de la maquette : cm
Périmètre réel : $3 + 4 + 5 = 12$ m $= 1 200$ cm. Le périmètre est divisé par $20$ comme les longueurs : $1 200 \div 20 = 60$ cm (ou $15 + 20 + 25$ ).
3. Aire de la voile de la maquette : cm²
Les côtés de l’angle droit mesurent $15$ cm et $20$ cm : $\frac{15 \times 20}{2} = 150$ cm².
4. L’aire réelle vaut $6$ m², soit $60 000$ cm². Par combien a-t-elle été divisée pour obtenir celle de la maquette ?
$60 000 \div 150 = 400$ . C’est $20^{2}$ : quand les longueurs sont divisées par $20$ , l’aire est divisée par $20^{2} = 400$ .

Problème 3 · Trois triangles à comparer★★★Moyen

Trois triangles sont donnés par leurs côtés, rangés dans l’ordre croissant. T1 :

4

;

5

;

7

. T2 :

6

;

7, 5

;

10, 5

. T3 :

5

;

6, 25

;

8, 5

1. Quotient des plus petits côtés de T2 et T1 :
$6 \div 4 = 1, 5$ .
2. Quotient des côtés moyens de T2 et T1 :
$7, 5 \div 5 = 1, 5$ .
3. Quotient des plus grands côtés de T2 et T1 :
$10, 5 \div 7 = 1, 5$ : les trois quotients sont égaux, T1 et T2 sont semblables (T2 est un agrandissement de T1 de coefficient $1, 5$ ).
4. Pour T3 et T1, les quotients des petits et des moyens côtés valent $1, 25$ . Quotient des plus grands côtés, arrondi au centième :
$8, 5 \div 7 \approx 1, 21$ , différent de $1, 25$ : T1 et T3 ne sont pas semblables.
5. Quelle longueur devrait avoir le plus grand côté de T3 pour que T3 soit semblable à T1 ?
Il faudrait le même coefficient $1, 25$ : $7 \times 1, 25 = 8, 75$ .

Problème 4 · Le triangle coupé par une parallèle★★★Difficile

Dans un triangle

A B C

M

est un point de

[A B]

N

un point de

[A C]

tels que

(M N) ∥ (B C)

. On donne

A M = 4, 2

cm,

A B = 10, 5

cm,

A N = 3, 9

cm,

M N = 4, 5

cm, et l’aire du triangle

A M N

vaut

7, 56

cm². Les triangles

A M N

A B C

ont l’angle de sommet

A

en commun et des angles correspondants égaux : ils sont semblables (

A \leftrightarrow A

M \leftrightarrow B

N \leftrightarrow C

1. Coefficient $k$ de $A M N$ vers $A B C$ :
$[A M]$ et $[A B]$ sont homologues : $k = 10, 5 \div 4, 2 = 2, 5$ .
2. $B C =$ cm
$[B C]$ est homologue de $[M N]$ : $B C = 4, 5 \times 2, 5 = 11, 25$ cm.
3. $N C =$ cm
$[A C]$ est homologue de $[A N]$ : $A C = 3, 9 \times 2, 5 = 9, 75$ cm, donc $N C = 9, 75 - 3, 9 = 5, 85$ cm.
4. Aire du triangle $A B C$ : cm²
L’aire est multipliée par $k^{2} = 6, 25$ : $7, 56 \times 6, 25 = 47, 25$ cm².
5. Aire du trapèze $M N C B$ : cm²
C’est le grand triangle moins le petit : $47, 25 - 7, 56 = 39, 69$ cm².

Problème 5 · L’image du projecteur★★★Difficile

Un projecteur projette sur un écran l’image d’un petit triangle dessiné sur une diapositive, de côtés

2

cm,

3

cm et

3, 5

cm. L’image est un triangle semblable. Sur l’écran, le plus petit côté mesure

60

cm.

1. Coefficient d’agrandissement :
Les plus petits côtés sont homologues : $60 \div 2 = 30$ .
2. Longueur du plus grand côté sur l’écran : cm
$3, 5 \times 30 = 105$ cm.
3. L’aire de l’image vaut combien de fois celle du triangle de la diapositive ?
L’aire est multipliée par $k^{2} = 30^{2} = 900$ .
4. On recule le projecteur : le petit côté mesure maintenant $120$ cm. Par combien l’aire de l’image a-t-elle été multipliée par rapport à la première projection ?
D’une image à l’autre, les longueurs sont multipliées par $120 \div 60 = 2$ : l’aire est multipliée par $2^{2} = 4$ .

Problème 6 · La hauteur du triangle rectangle★★★Difficile

Prise d’initiative.

A B C

est un triangle rectangle en

A

avec

A B = 6

cm,

A C = 8

cm et

B C = 10

cm.

H

est le pied de la hauteur issue de

A

(le point de

[B C]

tel que

(A H) ⟂ (B C)

). Les triangles

H B A

A B C

ont un angle droit et l’angle de sommet

B

en commun : ils sont semblables (

H \leftrightarrow A

B \leftrightarrow B

A \leftrightarrow C

1. En calculant l’aire de $A B C$ de deux façons, $A H =$ cm
Aire $= \frac{A B \times A C}{2} = \frac{6 \times 8}{2} = 24$ cm², et aussi $\frac{B C \times A H}{2}$ . Donc $10 \times A H = 48$ et $A H = 4, 8$ cm.
2. Coefficient de $A B C$ vers $H B A$ ( $[A B]$ , hypoténuse de $H B A$ , est homologue de $[C B]$ ) :
$k = \frac{A B}{C B} = \frac{6}{10} = 0, 6$ (une réduction).
3. $B H =$ cm
$[B H]$ est homologue de $[B A]$ (côtés de l’angle de sommet $B$ , opposés aux angles de sommets $A$ et $C$ ) : $B H = 6 \times 0, 6 = 3, 6$ cm.
4. $H C =$ cm
$H C = 10 - 3, 6 = 6, 4$ cm. Vérification avec $H A C$ , semblable à $A B C$ de coefficient $\frac{8}{10} = 0, 8$ : $H C = 8 \times 0, 8 = 6, 4$ cm.
5. Aire du triangle $H B A$ : cm²
$\frac{B H \times A H}{2} = \frac{3, 6 \times 4, 8}{2} = 8, 64$ cm². Contrôle : $24 \times 0, 6^{2} = 24 \times 0, 36 = 8, 64$ cm².

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