Fiche de révision : triangles semblables

Rappels de 4e (somme des angles, triangles égaux, agrandissement et réduction de coefficient k), triangles semblables définis par des angles deux à deux égaux (deux angles suffisent), côtés homologues proportionnels et réciproque, repérer les sommets et les côtés homologues, calculer une longueur, un périmètre ou une aire (aire multipliée par k²).

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Triangles semblables

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Espace et géométrie · Triangles semblables)

La démarche pour démontrer que deux triangles sont semblables, puis calculer

1. Je cherche deux paires d’angles égaux (angle droit, angle commun, opposés par le sommet, parallèles, calcul avec $180 °$ ) ou je range les côtés et je calcule les trois quotients.

2. Je conclus : « les triangles … et … sont semblables », écrits dans l’ordre des homologues.

3. Je calcule $k$ avec deux côtés homologues connus, puis chaque longueur ( $\times k$ ou $\div k$ ), le périmètre ( $\times k$ ) ou l’aire ( $\times k^{2}$ ).

Le réflexe — deux angles égaux ou trois quotients égaux prouvent que deux triangles sont semblables ; on ne calcule

k

qu’avec des côtés homologues.

Cas 1 · Rappels de 4e : angles et coefficient k

Réflexe — deux angles connus → le troisième avec $180 °$ ; agrandir ou réduire de coefficient $k$ → toutes les longueurs $\times k$ , angles inchangés.

Exemple 1. Un triangle isocèle a un angle au sommet de $52 °$ . Calculer ses angles à la base.

$(180 - 52) \div 2 = 128 \div 2 = 64 °$ : deux angles de $64 °$ .

Exemple 2. Réduire de coefficient $0, 6$ un triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm.

$5 \times 0, 6 = 3$ cm ; $6 \times 0, 6 = 3, 6$ cm ; $8 \times 0, 6 = 4, 8$ cm. Ses angles restent les mêmes.

Attention — ajouter la même longueur à chaque côté change la forme ; une aire est multipliée par $k^{2}$ .

Cas 2 · Semblables par les angles

Réflexe — deux paires d’angles égaux suffisent ; sur une figure, je cherche angle droit, angle commun, angles opposés par le sommet ou parallèles.

Exemple. $A B C$ a des angles de $48 °$ et $77 °$ ; $D E F$ a des angles de $77 °$ et $55 °$ . Sont-ils semblables ?

Troisième angle de $A B C$ : $180 - 48 - 77 = 55 °$ ; de $D E F$ : $180 - 77 - 55 = 48 °$ .

Mêmes angles $48 °$ , $55 °$ , $77 °$ : ils sont semblables.

Attention — deux triangles rectangles, ou deux triangles isocèles, ne sont pas toujours semblables.

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Cas 3 · Semblables par les côtés

Réflexe — je range les côtés, je calcule les trois quotients dans le même sens et je compare.

Exemple. Les triangles de côtés $4, 5$ ; $6$ ; $7$ et $6, 3$ ; $8, 4$ ; $9, 8$ sont-ils semblables ?

$\frac{6, 3}{4, 5} = 1, 4$ ; $\frac{8, 4}{6} = 1, 4$ ; $\frac{9, 8}{7} = 1, 4$ .

Trois quotients égaux : semblables, de coefficient $1, 4$ .

Attention — deux quotients égaux ne suffisent pas ; un seul quotient différent : pas semblables.

Cas 4 · Repérer les côtés homologues

Réflexe — sommets homologues = sommets des angles égaux ; côtés homologues = côtés opposés aux angles égaux ; j’écris les triangles dans l’ordre des homologues.

Exemple. Dans $A B C$ : $B A C$ $= 25 °$ , $A B C$ $= 120 °$ . Dans $R S T$ : $R S T$ $= 35 °$ , $R T S$ $= 25 °$ . Écrire les homologues.

$A C B$ $= 180 - 25 - 120 = 35 °$ et $S R T$ $= 180 - 35 - 25 = 120 °$ .

$A \leftrightarrow T$ , $B \leftrightarrow R$ , $C \leftrightarrow S$ : $A B C$ et $T R S$ sont semblables, et $[A B] \leftrightarrow [T R]$ , $[B C] \leftrightarrow [R S]$ , $[A C] \leftrightarrow [T S]$ .

Attention — la position sur la figure ne dit rien : un triangle peut être tourné ou retourné.

Cas 5 · Calculer une longueur, un périmètre ou une aire

Réflexe — $k$ = côté d’arrivée ÷ côté homologue de départ ; longueur $\times k$ ; périmètre $\times k$ ; aire $\times k^{2}$ .

Exemple. $G H K$ et $U V W$ sont semblables, dans cet ordre : $G H = 3, 2$ cm, $U V = 8$ cm, $H K = 4$ cm et l’aire de $G H K$ vaut $4, 8$ cm². Calculer $V W$ et l’aire de $U V W$ .

$k = \frac{U V}{G H} = \frac{8}{3, 2} = 2, 5$ ; $[V W]$ est homologue de $[H K]$ : $V W = 4 \times 2, 5 = 10$ cm.

Aire de $U V W$ : $4, 8 \times 2, 5^{2} = 4, 8 \times 6, 25 = 30$ cm².

Attention — on divise par $k$ pour revenir au premier triangle ; l’aire est multipliée par $k^{2}$ , pas par $k$ .

Les pièges

Comparer des côtés qui ne sont pas homologues : on range les longueurs ou on repère les angles opposés.
Croire que deux triangles rectangles sont toujours semblables : il faut aussi un angle aigu égal.
Conclure « semblables » avec deux quotients égaux seulement, ou avec un seul angle égal.
Multiplier l’aire par $k$ au lieu de $k^{2}$ : un périmètre doublé donne une aire multipliée par $4$ .
Écrire $k$ à l’envers : $k$ = côté du triangle d’arrivée ÷ côté homologue du triangle de départ.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche complète : chercher deux paires d’angles égaux ou trois quotients de côtés égaux, écrire les triangles dans l’ordre des homologues, puis calculer avec le coefficient k. Un exemple corrigé par cas (isocèle de 52°, côtés 4,5 ; 6 ; 7, triangles ABC et TRS) et les pièges à éviter.

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