Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Triangles semblables

Définition par les angles, côtés homologues proportionnels, coefficient d'agrandissement ou de réduction, démontrer que deux triangles sont semblables, lien avec Thalès et l'homothétie, effet sur les aires (programme de 3e)

Reconnaître deux triangles de même forme, calculer une longueur avec le coefficient et prévoir l'effet sur l'aire : les triangles semblables généralisent Thalès à toutes les positions.

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Définitions

Triangles semblables : angles deux à deux de même mesure (même forme, taille quelconque).
Sommets homologues : sommets des angles égaux ; côtés homologues : côtés opposés aux angles égaux.
Coefficient $k$ : nombre par lequel on multiplie les côtés du premier pour obtenir ceux du second ; $k > 1$ agrandissement, $k < 1$ réduction, $k = 1$ triangles égaux.

Propriétés

Deux angles égaux suffisent : le troisième vaut $180 °$ moins les deux autres.
Semblables $\Rightarrow$ côtés homologues proportionnels : $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C} = k$ .
Réciproque : trois quotients égaux $\Rightarrow$ semblables.
Périmètre $\times k$ ; aire $\times k^{2}$ ; pour retrouver $k$ à partir des aires : $k = \sqrt{rapport des aires}$ .

Méthode : démontrer

Par les angles : repérer un angle droit, un angle commun, des angles opposés par le sommet, alternes-internes ou correspondants ; en trouver deux égaux.
Par les côtés : ranger les trois longueurs de chaque triangle du plus petit au plus grand, calculer les trois quotients, vérifier qu'ils sont égaux.
Conclure par la phrase « les triangles … et … sont semblables », puis écrire les sommets dans l'ordre des homologues.

Méthode : calculer une longueur

Identifier les côtés homologues (angles opposés ou ordre des lettres).
Calculer $k$ avec deux côtés homologues connus.
Multiplier par $k$ (vers le grand) ou diviser par $k$ (vers le petit).
Vérifier : dans un agrandissement, toutes les longueurs augmentent.

Liens avec le programme

Thalès : $A M N$ et $A B C$ (avec $(M N) ∥ (B C)$ ) sont semblables ; l'égalité des rapports est la proportionnalité des côtés.
Homothétie de rapport $k$ : image semblable, longueurs $\times | k |$ , aire $\times k^{2}$ .
Situations classiques : miroir au sol, hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle, deux triangles rectangles ayant un angle aigu commun.

Pièges à éviter

Comparer des côtés non homologues : toujours petit avec petit, grand avec grand.
Deux triangles rectangles ne sont pas forcément semblables ; deux triangles rectangles isocèles ou équilatéraux le sont toujours.
Aire $\times k$ au lieu de $\times k^{2}$ .
Conclure avec un seul quotient ou un seul angle.

L'essentiel

Deux triangles sont semblables si leurs angles sont deux à deux égaux ; deux angles suffisent.
Les côtés homologues de triangles semblables sont proportionnels, de coefficient k.
Trois quotients de côtés égaux prouvent que deux triangles sont semblables.
Périmètre multiplié par k, aire multipliée par k².
Thalès et l'homothétie sont des cas particuliers de triangles semblables.

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