Triangles semblables

1. a)Troisième angle du premier : $180-42-71={67}^{\circ }$. Les deux triangles ont des angles de ${42}^{\circ }$, ${67}^{\circ }$ et ${71}^{\circ }$ : ils sont semblables (1)
2. b)Dans le second, l’autre angle aigu mesure $90-66={24}^{\circ }$. Les deux ont un angle droit et un angle de ${24}^{\circ }$ : ils sont semblables (1)
3. c)Le premier a pour angles ${48}^{\circ }$, ${66}^{\circ }$, ${66}^{\circ }$ ($(180-48)÷2=66$) ; le second ${48}^{\circ }$, ${48}^{\circ }$, ${84}^{\circ }$ ($180-2\times 48=84$). Les angles ne sont pas les mêmes : ils ne sont pas semblables (1)
4. d)$4\times 1,5=6$ cm ; $5\times 1,5=7,5$ cm ; $6\times 1,5=9$ cm. Les angles ne changent pas : les deux triangles sont semblables (1)

Méthode — Je complète toujours les trois angles de chaque triangle avant de comparer : deux paires d’angles égaux suffisent.

1. a)${\displaystyle \frac{5}{3}}$, ${\displaystyle \frac{7,5}{4,5}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{10}{6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ : les trois quotients sont égaux, T1 et T2 sont semblables, $k={\displaystyle \frac{5}{3}}$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{4}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{6}{4,5}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$, mais ${\displaystyle \frac{7,5}{6}}=1,25={\displaystyle \frac{5}{4}}$ : un quotient diffère, ils ne sont pas semblables (1)
3. c)Périmètres : $3+4,5+6=13,5$ et $5+7,5+10=22,5$ ; ${\displaystyle \frac{22,5}{13,5}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ : le même coefficient que les côtés (1)
4. d)$4\times 2=8$ ; $6\times 2=12$ ; $7,5\times 2=15$ (1)

Repère — Un coefficient qui ne tombe pas juste s’écrit en fraction : ${\displaystyle \frac{5}{3}}$, et non $1,67$.

1. a)$A\leftrightarrow R$, $B\leftrightarrow S$, donc $C\leftrightarrow T$ : $[AB]\leftrightarrow [RS]$, $[BC]\leftrightarrow [ST]$, $[AC]\leftrightarrow [RT]$ (1)
2. b)$k={\displaystyle \frac{RS}{AB}}={\displaystyle \frac{8,4}{5,6}}=1,5$ (1)
3. c)$ST=4,2\times 1,5=6,3$ cm ; $RT=7\times 1,5=10,5$ cm (1)
4. d)$8,4+6,3+10,5=25,2$ cm ; ou périmètre de $ABC$ multiplié par $k$ : $(5,6+4,2+7)\times 1,5=16,8\times 1,5=25,2$ cm (1)

Méthode — J’écris d’abord les homologues, puis je calcule $k$ avec la seule paire de côtés homologues connus tous les deux.

1. a)Par $k^2=4^2=16$ (1)
2. b)$7,2\times 2,5^2=7,2\times 6,25=45$ cm² (1)
3. c)$k^2={\displaystyle \frac{75}{12}}=6,25=2,5^2$, donc $k=2,5$ ; périmètre du grand : $14\times 2,5=35$ cm (1)
4. d)Non : un périmètre doublé signifie $k=2$ (toutes les longueurs doublent), donc l’aire est multipliée par $2^2=4$ (1)

Le point clé — Longueurs et périmètre $\times k$, aire $\times k^2$ : pour remonter des aires aux longueurs, on cherche le nombre dont le carré vaut le rapport des aires.

1. a)Le triangle $ANM$ est rectangle en $N$ et $ABC$ est rectangle en $B$ ; ils ont l’angle de sommet $A$ en commun. Deux paires d’angles égaux : ils sont semblables ($A\leftrightarrow A$, $N\leftrightarrow B$, $M\leftrightarrow C$) (1)
2. b)$[AN]$ et $[AB]$ sont homologues : $k={\displaystyle \frac{AB}{AN}}={\displaystyle \frac{9,6}{2,4}}=4$ (1)
3. c)$[BC]$ est homologue de $[NM]$ : $BC=0,7\times 4=2,8$ m (1)
4. d)$[AC]$ est homologue de $[AM]$ : $AC=2,5\times 4=10$ m (1)

Méthode — Angle droit + angle commun : deux triangles rectangles emboîtés sont semblables, sans aucune mesure d’angle.